Annäherung an Polstellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 29.12.2007 | | Autor: | dave-o |
| Aufgabe | Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion [mm] \bruch{x^3-x}{x^2-9}
[/mm]
Hat die Funktion Nullstellen, Lücken oder Polstellen? Ermitteln Sie diese ggfs. Untersuchen Sie ggfs. das Verhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstellen. Beschreiben Sie das Verhalten für x [mm] \to +/-\infty [/mm] d.h. bestimmen Sie die Asymptote. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen. |
Hallo erstmal. Folgende Aufgabe habe ich fast fertig gelöst. Es bleibt lediglich das Verhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstellen (diese sind bei x=-3 und x=+3). Im Grunde weiß ich, wie vorzugehen ist (x durch einen Term ersetzen, der, wenn dessen Variable gegen [mm] \infty [/mm] läuft, gegen die Polstelle läuft und dann alle n's unter dem Bruch wegkriegen), aber mir fehlt bei dieser Art Aufgabenstellung immer der richtige Ansatz. Ich habe als erstes versucht die Annäherung an -3 von rechts zu berechnen. Mir ist nichts aufgefallen, was ich hätte kürzen oder vereinfachen können, also habe ich x durch [mm] \bruch{1}{n}-3 [/mm] ersetzt und habe die Funktion gegen unendlich laufen lassen. Am Ende hatte ich viel Unsinn (mehrere Summanden, davon laufen einige gegen [mm] +\infty [/mm] andere gegen [mm] -\infty) [/mm] raus (habe jetzt 5 Zettel mit Ansätzen voll und komme einfach nicht weiter).
Meine konkrete Frage: Gibt es ein Muster an Dingen, die man abprüfen kann, um diese Art Aufgabe zu lösen (z.B. nach binomischen Formeln suchen etc.) und 2. kann mir jmd. einen Ansatz für diese Aufgabe nennen. Ich habe nun mit allem möglichen erweitert und gekürzt und komme einfach nicht auf den richtigen Ansatz.
Vielen Dank im vorraus
Dave-O
Anmerkung: Hier mein Ergebnis, auf das ich immer wieder komme, egal wie ich umstelle:
[mm] \bruch{1}{n}-9+26n-24n^2-\bruch{1}{6n^2}+\bruch{9}{6n}-\bruch{13}{3}+4n
[/mm]
lasse ich diese Funktion gegen [mm] +\infty [/mm] laufen, sind ja nur noch die Summanden +26n, [mm] -24n^2 [/mm] und +4n relevant, alles andere sind ja Konstanten oder laufen gegen 0. Nun habe ich zwei Summanden die gegen [mm] +\infty [/mm] laufen und einer der gegen [mm] -\infty [/mm] läuft [mm] (-24n^2). [/mm] Ich denke, ich bin irgendwie auf dem Holzweg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Kulli1 |
Hallo Dave,
leider kenne ich mich mit dem von dir beschriebenen Verfahren nicht wirklich aus, bzw denke du machst dir das Leben einfach etwas zu schwer bei der Aufgabe.
Normalerweise würde man die Aufgabe so lösen, dass du dir Vorstellst etwas für x einzusetzen, das sehr nah an der Polstelle liegt - und zwar jeweils rechts und links davon.
Das macht man, um zu überprüfen wie sich die Funktion rechts und links von den Polstellen verhält.
Versuche also einfach mal [mm] \pm3,0001 [/mm] und [mm] \pm2,99999 [/mm] einzusetzen, du wirst sehen, das die Funktion für die Werte, obwohl sie so nah aneinander liegen, in verschiebene Richtungen strebt.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen
Gruß
Kulli
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:31 Sa 29.12.2007 | | Autor: | dave-o |
Hallo Kulli, danke erstmal für Deine Antwort. Deine Idee löst zwar die Aufgabe (ich habe die Funktion mal in den Funktionsplotter eingetippt und weiß daher auch, wie sich die Funktion bei Annäherung an die Polstellen verhält), nur leider muss ich diesen Wert berechnen :(
Die Idee bei dem Verfahren ist, die x durch einen Term zu ersetzen, der halt genau gegen die untersuchte Polstelle strebt, wenn man dessen Zählvariable gegen [mm] \infty [/mm] laufen lässt, also wenn ich [mm] \limes_{x\rightarrow\-3+} [/mm] laufen lassen möchte, muss ich alle x in der Funktion durch einen Term wie z.B. [mm] \bruch{1}{n}-3 [/mm] ersetzen. Wenn ich n nun gegen unendlich laufen lasse, läuft der Term nun gegen -3 von rechts und somit genau gegen meine Polstelle. Durch geschicktes Umstellen der Funktion mit den ersetzten x müsste ich dann irgendwann einen Funktion erhalten, wo idealerweise nur noch Konstanten und Terme die gegen 0 laufen enthalten sind und ein Term, der gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] läuft, halt eine normale Grenzwertberechnung - und genau bei diesem geschickten Umstellen hakt es immer bei mir, alles andere ist kein Problem nur das Umstellen. Ich bekomme immer ewig lange Funktionen und keine eindeutige Lösung.
Gruß
Dave-O
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Wenn du alle Nullstellen des Zählers und Nenners in ihrer Häufigkeit (wenn du nicht weiß, was das heißt, frag zurück) bestimmt hast, mache dir Folgendes klar:
Gemeinsame Nullstellen in Zähler und Nenner lassen sich wie entsprechende Faktoren gegeneinander "wegkürzen". Beispiel:
[mm] \bruch{(x^2-1)}{2x^2+4x+2}=
[/mm]
[mm] \bruch{(x+1)(x-1)}{2(x^2+2x+1)}=
[/mm]
[mm] \bruch{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2}=
[/mm]
[mm] \bruch{x-1}{2(x+1)}
[/mm]
Kürzen sie sich bei gleicher Häufigkeit vollständig weg, liegt eine stetig ergänzbare/schließbare/hebbare Lücke vor, bleibt in Zähler oder Nenner etwas übrig, liegt eine Null- bzw. Polstelle der entsprechenden Häufigkeit vor, in obigem Beispiel also bei 1 eine einfache Nullstelle, bei -1 ein einfacher Pol.
Bei Nullstellen mit gerader Ordnung (doppelt, 4-fach ...) berührt der Graph nur die x-Achse wie die Parabel von [mm] f(x)=x^2, [/mm] es findet also kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich dabei immer um einen Hoch- oder Tiefpunkt des Graphen. Bei Nullstellen mit ungerader Ordnung (einfach, 3-fach ...) durchquert der Graph die x-Achse, es findet ein Vorzeichenwechsel statt. Ab 3. Ordnung (also 3-fach, 5- fach...) Liegt außerdem ein Sattelpunkt wie bei [mm] f(x)=x^3 [/mm] vor. (Nur einfache Nullstellen sind also nicht gleichzeitig Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte).
Für die Polstellen gilt entsprechend: Polstellen mit gerader Ordnung haben keinen Vorzeichenwechsel (gehen also von beiden Seiten nach [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty), [/mm] mit ungerader Ordnung haben sie einen (von einer Seite nach [mm] +\infty, [/mm] von der anderen nach [mm] -\infty.
[/mm]
________________________
Praktisch gehst du nun so vor: Du markierst auf der x-Achse alle Null- und Polstellen. Damit unterteilst du den Zahlenstrahl in verschiedene Abschnitte. In jedem dieser Abschnitte haben alle Funktionswerte das selbe Vorzeichen, weil dieses sich wegen der Stetigkeit nur bei Null- oder Polstellen ändern kann.
Idee: Für jeden Abschnitt rechnest du nun einen beliebigen (!) Funktionswert aus, wobei es nur auf das Vorzeichen ankommt.
Also nix mit Limes und so, das ist ganz überflüssig! Selbst das Berechnen der Funktionswerte ist überflüssig, wenn man sich nur die Vorzeichen klar macht. Unten schreibe ich es noch einfacher auf, dann verstehst du, warum ich so weit ausgeholt habe. Am Beispiel deiner Fkt.:
[mm] \bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}
[/mm]
Markante Stellen sind x= -3 -1 0 1 3
Vorzeichen für
[mm] -4:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(-)(-)(-)}{(-)(-)}=\bruch{-}{+}=-
[/mm]
[mm] -2:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(-)(-)(-)}{(+)(-)}=\bruch{-}{-}=+
[/mm]
[mm] -0,5:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(+)(-)(-)}{(+)(-)}=\bruch{+}{-}=-
[/mm]
[mm] +0,5:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(+)(+)(-)}{(+)(-)}=\bruch{-}{-}=+
[/mm]
[mm] +2:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(+)(+)(+)}{(+)(-)}=\bruch{+}{-}=-
[/mm]
[mm] +4:\bruch{x^3-x}{x^2-9}=\bruch{(x+1)x(x-1)}{(x+3)(x-3)}=\bruch{(+)(+)(+)}{(+)(+)}=\bruch{+}{+}=+
[/mm]
Das bedeutet: Im Intervall von [mm] -\infty [/mm] bis -3 verläuft der Graph im Negativen (unterhalb der x-Achse), von -3 bis -1 im Positiven, von -1 bis 0 im Negativen, von 0 bis 1 im Positiven, von 1 bis 3 im Negativen und von 3 bis [mm] \infty [/mm] im Positiven.
Eigentlich brauchtest du nur die Überlegung für -4 anzustellen: Weil alle Null- und Polstellen einfach waren, gab es jeweils einen Vorzeichenwechsel (wie du oben siehst), und damit waren alle weiteren Überlegungen schon wieder überflüssig!!!
Das heißt: Für x nach [mm] -\infty [/mm] geht f(x) nach [mm] -\infty, [/mm] Für die Polstelle 3 von links ebenfalls nach [mm] -\infty, [/mm] von rechts aber nach [mm] +\infty [/mm] (VZW), bei 1 eine Nullstelle von + auf -, bei 0 eine Nullstelle von - auf +, bei 1 Nullstelle von + nach -, bei 3 Polstelle von links nach [mm] -\infty, [/mm] von rechts nach [mm] +\infty, [/mm] für x nach [mm] \infty [/mm] geht f(x) nach [mm] \infty.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 So 30.12.2007 | | Autor: | dave-o |
Hallo hjkweseleit,
vielen Dank für Deine Ausführungen, ich konnte sie gut nachvollziehen, in der Tat ist dies ein deutlich einfacheres Verfahren. Ich konnte es hier an einer anderen Aufgabe nachvollziehen. Ich werde es für die Klausur im Januar auf jeden Fall im Hinterkopf behalten, falls ich auf Teufel komm raus wieder nicht den richtigen Ansatz finden sollte (vermutlich ist es für die Benotung erstmal besser, das Verfahren, das wir gezeigt bekommen haben, anzuwenden).
Gruß
Dave-O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dave-o,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Ansatz mit dem Einsetzen der Folge [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{n}-3\right)$ [/mm] für den rechtsseitigen Grenzwert an [mm] $x_P [/mm] \ = \ -3$ ist völlig korrekt.
Allerdings erstaunt mich etwas Dein Ergebnis. Beginnen wir einfach mal:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow -3\downarrow}\bruch{x^3-x}{x^2-9}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left(\bruch{1}{n}-3\right)^3-\left(\bruch{1}{n}-3\right)}{\left(\bruch{1}{n}-3\right)^2-9}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^3}-9*\bruch{1}{n^2}+27*\bruch{1}{n}-27-\bruch{1}{n}+3}{\bruch{1}{n^2}-6*\bruch{1}{n}+9-9}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^3}-\bruch{9}{n^2}+\bruch{26}{n}-24}{\bruch{1}{n^2}-\bruch{6}{n}} [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \text{erweitern mit } [/mm] n$$
$$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^2}-\bruch{9}{n}+26-24*n}{\bruch{1}{n}-6} [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \text{Grenzwertbetrachtung}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{0-0+26-\infty}{0-6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\infty}{-6} [/mm] \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \infty$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dave-o!
Hier dann noch eine skizze zur Kontrolle:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 29.12.2007 | | Autor: | dave-o |
Hallo loddar, vielen Dank für Deine Antwort, das Erweitern mit n war letztendlich der Trick, der mir gefehlt hat, um auf die Lösung zu kommen. Jetzt habe ich aber doch noch eine Frage zu Deiner Umformung im Zähler des Bruches. Dort steht ja:
[mm] (\bruch{1}{n}-3)^3-(\bruch{1}{n}-3)
[/mm]
ich schreibe es folgendermaßen auf:
[mm] (\bruch{1}{n}-3)*(\bruch{1}{n}-3)*(\bruch{1}{n}-3)-\bruch{1}{n}+3
[/mm]
danach fasse ich Schritt für Schritt zusammen:
[mm] (\bruch{1}{n}-3)*(\bruch{1}{n^2}-\bruch{6}{n}+9)-\bruch{1}{n}+3
[/mm]
dann
[mm] \bruch{1}{n^3}-\bruch{6}{n^2}+\bruch{9}{n}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{18}{n}-27-\bruch{1}{n}+3
[/mm]
zusammengefasst gibt das dann:
[mm] \bruch{1}{n^3}-\bruch{9}{n^2}+\bruch{26}{n}-24
[/mm]
das wäre bei mir der Zähler vor dem Erweitern mit n. Bei Dir steht da was anderes und ich komme gerade nicht auf den Fehler. Kannst Du mir nochmal etwas auf die Sprünge helfen, stehe gerade irgendwie kräftig auf dem Schlauch. Komme mit dem Term auch auf das korrekte Ergebnis, aber ich sehe gerade nicht, wo der Fehler in der Umformung liegt.
Vielen Dank
Dave-O
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dave-o!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Das war mein Fehler beim Anwenden der Formel [mm] $(a+b)^3 [/mm] \ = \ [mm] a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ [/mm] .
Es ist oben aber nun korrigiert und deckt sich mit Deinem Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Sa 29.12.2007 | | Autor: | dave-o |
Hallo Loddar,
vielen Dank für Deine Hilfe. Hab jetzt schon so lange an dieser verflixten Aufgabe gesessen, dass ich schon dachte, ich kann jetzt nicht mal mehr eine einfache Gleichung umstellen ;) So eine "Betriebsblindheit" kann sich ja dann schonmal einstellen.
Gruß
Dave-O
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Falls du kein Student bist, der sich mit Folgen und Reihen an Grenzwerte rantasten muss, lies dir bitte meine obige Antwort "Null- und Polstellen" durch. Das Ganze läuft darauf hinaus, dass du dir nur ein einziges Vorzeichen überlegen musst...
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