Annuitätendarl. mit S.-Tilgung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es wird ein Kredit von 120.000€ bei einem Zinssatz von 4% aufgenommen und eine Tilgung von 2% bei einer Zinsbindung von 10 Jahren vereinbart. Die Rückzahlung erfolgt vorschüssig in Monatsraten (bzw. vierteljaehrlich, halbjaehrlich).
Wie hoch ist die Restschuld nach Ablauf der Zinsbindung von 10 Jahren wenn jaehrlich eine Sondertilgung von 1000€ vereinbart wurde? |
Hallo,
ich habe folgende Formel fuer die Berechnung der Restschuld nach k Jahren (ohne Berücksichtigung der Sondertilgung):
RS = S * [mm] [1-\bruch{it}{i}(q^{k-1}-1))
[/mm]
wobei
RS = Restschuld nach k Jahren
S = aufgenommener Kredit (=120.000)
it = Tilgungssatz (it=0.02)
i = Zinssatz (i=0.04)
q = Annuitätenfaktor = 1+i = 1.04
k = Anzahl Jahre (bzw. Zahlungsperioden?)
Diese Formel berechnet mir die korrekte Restschuld (ohne Sondertilgung).
Frage:
Wie muesste ich die Formel umbauen damit die jährliche Sondertilgung berücksichtig wird?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
leider kann ich bei Deiner Formel den Exponent (k-1) nicht nachvollziehen und komme auch auf andere Restschulden. Mir ist klar, daß mit der Formel die Summe der annuitätischen Tilgungen ermittelt wird, wobei sich jede Tilgung um die "ersparten Zinsen" erhöht und deshalb ausgehend von dem ersten Tilgungsbetrag jeweils mit q multipliziert wird. Aber warum berücksichtigst Du bei einer Laufzeit von 10 Jahren bei jährlichen Zahlungen nur 9 Tilgungen und nicht 10? Auch bei vorschüssigen Zahlungen gibt es bei der zehnjährigen Laufzeit 10 Zahlungen; der Zeitpunkt ist lediglich anders als bei nachschüssigen und die Höhe der Restschuld ist nicht identisch. Wegen des mit jeder Zahlung steigenden Tilgungsanteils habe ich keinen Weg gefunden, die zusätzlichen Sondertilgungen in der Formel mit zu berücksichtigen.
Hinzu kommt, daß es nach meiner Erfahrung bei annuitätischen Darlehen oder Krediten in der Praxis keine vorschüssigen Zahlungen gibt; das mag bei Leasingfinanzierungen und Ratenzahlungen bei einem Kauf anders sein. Hier kommt es bei dem Darlehen auf die Überlassung der Kapitalnutzung an, und die ist bei vorschüssigen Zahlungen, die sofort (mit der Auszahlung) einsetzen, nicht in der vereinbarten Höhe gegeben. Besser ist es dann, ein nachschüssiges Darlehen vereinbaren, bei die Auszahlung um den ersten Tilgungsbetrag ermäßigt wird. Im Ergebnis sollte das auf dasselbe hinauslaufen. Soll man hier zu didaktischen Zwecken doch vorschüssige Zahlungen verwenden, würde ich eher mit der Sparkassenformel - vgl.
http://de.wikipedia.org/wiki/Sparkassenformel
rechnen, die bei vorschüssigen Zahlungen wie folgt lautet:
RS= Restschuld
S=Kredit
i=Zinssatz
q=1+i
n=Laufzeit in Jahren
r=Rate
$ RS=S [mm] \cdot q^n [/mm] - r [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] $,
wobei man i=q-1 ist.
Geht man von unterjährigen Zahlungen aus, wird das ergänzt bzw. geändert mit
zpj=Zahlungen pro Jahr, etwa 12 bei monatlichen usw. und
$ [mm] q=1+\bruch{i}{zpj} [/mm] $
$ RS=S [mm] \cdot q^{n\cdot zpj} [/mm] - r [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot\bruch{q^{n\cdot zpj}-1}{q-1} [/mm] $.
Unter der Voraussetzung, daß die jeweilige Sondertilgung (ST) zum Jahresende geleistet wird, kann man so die Restschuld zum Ende des Jahres 1 ermitteln:
$ RS=S [mm] \cdot q^{12} [/mm] - r [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot\bruch{q^{12}-1}{q-1} [/mm] -1000 $.
Das Ergebnis ist dann der Betrag , der für das zweite Jahr statt S eingesetzt werden muß. Das fortgesetzt für die folgenden Jahre und mit verschiedenen Umformungen komme ich für vorschüssige Zahlungen dann in allgemeiner Form auf
$ RS=S [mm] \cdot q^{n\cdot zpj}-\bruch{\left(q^{zpj}\right)^n-1}{q^{zpj}-1}\cdot\left(r\cdot q \cdot \bruch{q^{zpj}-1}{q-1}+ST\right)$
[/mm]
Überprüfen kann man das Ergebnis (ohne Formel), wenn man mit einer Tabellenkalkulation einen entsprechenden Tilgungsplan aufstellt.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Di 12.02.2013 | | Autor: | Mike24680 |
Hallo Staffan,
Du hast recht - ich habe die Formel verwechselt. Vielen Dank fuer deine umfangreiche Hilfe.
Die korrekte Formel lautet:
RS = S * [mm] (1+\bruch{i}{zpj})^{n*zpj}-((i+it)*S) [/mm] * [mm] \bruch{(1+\bruch{i}{zpj})^{n*zpjm}-1}{q-1}
[/mm]
wobei
RS = Restschuld
S = Kredit (=120.000)
i = Zinssatz (i=0.04)
it = Tilgungssatz (it=0.02)
q = 1+i (1.04)
n = Laufzeit in Jahren (10)
r = Rate
zpj = Zinsperioden pro Jahr / Ratenzahlungen pro Jahr (12)
Setze ich die Werte ein erhalte ich als Restschuld 90550,04. Der Wert ist lt. Onlinerechner korrekt.
Nun habe ich versucht deine Formel zu verwenden, mit den gleichen Werten wie oben und zusaetzlich folgenden Werten.
Sondertilgung ST=0
r=7200
Da die Sondertilgung 0 ist haette ich erwartet das der gleiche Werte wie oben rauskommen muesste. Macht es aber nicht.
Auch wenn ich eine Sondertilung angeben komme ich nicht auf korrekt Werte.
Mache ich einen Eingabefehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Josef |
Hallo Mike,
> Die korrekte Formel lautet:
>
> RS = S * [mm](1+\bruch{i}{zpj})^{n*zpj}-((i+it)*S)[/mm] *
> [mm]\bruch{(1+\bruch{i}{zpj})^{n*zpjm}-1}{q-1}[/mm]
>
> wobei
> RS = Restschuld
> S = Kredit (=120.000)
> i = Zinssatz (i=0.04)
> it = Tilgungssatz (it=0.02)
> q = 1+i (1.04)
> n = Laufzeit in Jahren (10)
> r = Rate
> zpj = Zinsperioden pro Jahr / Ratenzahlungen pro Jahr (12)
>
> Setze ich die Werte ein erhalte ich als Restschuld
> 90550,04.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Den habe ich auch errechnet.
Dabei hast du aber nicht die vorschüssige Tilgung berücksichtigt.
> Der Wert ist lt. Onlinerechner korrekt.
>
Hast du eine vorgegeben Lösung? Wie lautet den das richtige Ergebnis mit der jährlichen Sondertilgung?
Mein Vorschlag: Bilde eine jährliche Ersatzrate und erhöhe diese um die jährliche Sondertilgung.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Mike24680 |
Hallo Josef,
zur Ueberpruefung meiner Ergebnisse verwende ich diesen Rechner:
http://www.zinsen-berechnen.de/hypothekenrechner.php
Wenn ich bei Staffan's Formel als Sondertilgung=0 eingebe muesste eigentlich 90550,04 rauskommen.
Ich bekomme aber [mm] 1.156877135*10^7 [/mm] raus.
> Mein Vorschlag: Bilde eine jährliche Ersatzrate und
> erhöhe diese um die jährliche Sondertilgung.
Sorry, das kann ich mathematisch nicht umsetzen bzw. weiss ich nicht wie ich das machen soll (Schule & Studium ist schon 15 Jahre her und in Mathe war ich noch nie eine grosse Leuchte).
VG,
Mike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
die jetzt verwendete Formel paßt; sie geht jedoch, was praxisnäher ist, von nachschüssigen Zahlungen aus. Auch das Ergebnis ist richtig.
Die von mir genannte Formel für die Sondertilgung zum jeweiligen Jahresende berücksichtigte vorschüssige Zahlungen. Für nachschüssige ist sie so zu ändern:
$ RS=S [mm] \cdot q^{n\cdot zpj}-\bruch{\left(q^{zpj}\right)^n-1}{q^{zpj}-1}\cdot\left(r\cdot \bruch{q^{zpj}-1}{q-1}+ST\right) [/mm] $
Setzt man ST=0, kommt man durch Kürzung auf die Formel, die Du verwendet hast. Allerdings ist zu beachten, daß, da sowohl der Zinssatz und die Laufzeit des Kredits auf Monatsbasis berechnet werden, das auch für die Annuität gelten muß und r nicht mit dem Jahresbetrag von 7.200,00 sondern dem Monatsbetrag von 600,00 anzusetzen ist. Dann kommt das gleiche Ergebnis heraus.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Mike24680 |
Hallo Staffan,
ich habe nun deine Formel genommen und folgende Werte eingesetzt:
q=1.04
S=120000
n=10
zpj=12
ST=0
r=600
Ich wuerde nun das Ergebnis 90550,04 erwarten.
Als Ergebnis bekomme ich allerdings 1.163456888 * [mm] 10^{7}
[/mm]
Mache ich einen Eingabefehler?
Ich habe dann deine Formel gewandelt und q jeweils ersetzt.
RS = [mm] S*(1+\bruch{i}{zpj})^{n\cdot{}zpj}-\bruch{((1+\bruch{i}{zpj})^{zpj})^{n}-1}{(1+\bruch{i}{zpj})^{zpj}-1}(\bruch{(i+it)\cdot{}S}{zpj} \bruch{(1+\bruch{i}{zpj})^{n\cdot{}zpjm}-1}{q-1})
[/mm]
Ich bekomme dann ein realistischeres Ergebnis von 90200,51 fuer ST=0 aber es stimmt immer noch nicht. :o
Zum ueberpruefen verwende ich immer diesen http://www.zinsen-berechnen.de/hypothekenrechner.php Rechner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Hallo Staffan,
>
> ich habe nun deine Formel genommen und folgende Werte
> eingesetzt:
>
> q=1.04
Wegen der monatlichen Zahlung ist q=1,003333
> S=120000
> n=10
> zpj=12
> ST=0
> r=600
>
> Ich wuerde nun das Ergebnis 90550,04 erwarten.
> Als Ergebnis bekomme ich allerdings 1.163456888 * [mm]10^{7}[/mm]
> Mache ich einen Eingabefehler?
>
> Ich habe dann deine Formel gewandelt und q jeweils
> ersetzt.
>
> RS =
> [mm]S*(1+\bruch{i}{zpj})^{n\cdot{}zpj}-\bruch{((1+\bruch{i}{zpj})^{zpj})^{n}-1}{(1+\bruch{i}{zpj})^{zpj}-1}(\bruch{(i+it)\cdot{}S}{zpj} \bruch{(1+\bruch{i}{zpj})^{n\cdot{}zpjm}-1}{q-1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Hier ist im Zähler des letzten Bruchs ein Übertragungsfehler:
es muß richtig heißen $ (1+\bruch{i}{zpj})^{zpj}-1} $ und nicht $ (1+\bruch{i}{zpj})^{n\cdot{}zpjm}-1}$ . Das kann bei ST=0 gegen einen Teil des Gesamtnenners gekürzt werden - und so ist die Formel dann mit Deiner identisch. Ich komme mit ihr auf die von Dir genannten 90.550,03905=90.550,04.
> Ich bekomme dann ein realistischeres Ergebnis von 90200,51
> fuer ST=0 aber es stimmt immer noch nicht. :o
>
> Zum ueberpruefen verwende ich immer diesen
> http://www.zinsen-berechnen.de/hypothekenrechner.php
> Rechner.
Gruß
Staffan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:02 Do 14.02.2013 | | Autor: | Josef |
Hallo Mike,
die (vorschüssige) Jahresersatzrate lautet:
[mm] 600*1,003333333*\bruch{1,003333333^{12}-1}{0,003333333} [/mm] = 7.357,92
zusätzliche Jährliche Sondertilgung von 1.000 Euro = 8.357,92
Der monatliche auf jährlich umgerechnete Zinssatz beträgt:
[mm] 1,003333333^{12} [/mm] = 1,040741539
[mm] 120.000*1,040741539^{10} [/mm] - [mm] 8.357,92*\bruch{1,04071539^{10}-1}{0,040741539} [/mm] = 78.208,09
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 14.02.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo Mike,
jetzt hast Du zwei Lösungswege, die beide die Zahlung der Sondertilgung zum Jahresende vorsehen und - das wird Dich beruhigen - zum gleichen Ergebnis kommen. Du kannst Dir den Weg also aussuchen.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 So 17.02.2013 | | Autor: | Mike24680 |
Hallo Staffan, Hallo Josef,
herzlichen Dank fuer eure Hilfe!
Nun hats geklappt. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 17.02.2013 | | Autor: | Josef |
Hallo Mike,
> Hallo Staffan, Hallo Josef,
>
> herzlichen Dank fuer eure Hilfe!
> Nun hats geklappt.
>
Super!
Vielen Dank für deine Mitteilung!
Viele Grüße
Josef
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