Ansatz für Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 13.02.2005 | | Autor: | andy009 |
Hallo!
Ich habe folgende Extremwertaufgabe:
Ein Auto fährt vom Punkt A (0/0) [km] weg in Richtung x-Achse.
Es soll schließlich im Punkt B (7/4) [km] ankommen.
In Richtung der x-Achse kann es 60 km/h fahren, sonst nur 30 km/h.
Die Frage ist nun wo soll das Auto die x-Achse verlassen, damit es am schnellsten von A nach B kommt?
Wie setze ich dieses Beispiel an? Bitte um Hilfe!
Danke!
mfg andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, andy,
also gut: Beim Ansatz helf' ich Dir; ausrechnen musst Du's selbst: zumindest ernsthaft versuchen.
Also: Das Auto fährt zunächst längs der x-Achse bis zum Punkt P(x; 0).
(Dabei ist logischerweise 0<x<7).
Dann biegt es schräg in Richtung B ab (wohin es geradlinig fährt!)
Skizzier' Dir die Situation mal. Du wirst erkennen, dass da ein rechtwinkliges Dreieck PDB entsteht mit rechtem Winkel bei D(7;0).
Die Katheten dieses Dreiecks sind: DB=4 und CD=7-x. (Nachdenken!!)
Nun soll die Gesamtzeit t minimal sein. Diese besteht aber aus der Zeit [mm] t_{1}, [/mm] währende der das Auto mit 60km/h in x-Richtung fährt und der Zeit [mm] t_{2}, [/mm] während der das Auto mit 30 km/h schräg auf B zufährt.
Da nun [mm] v=\bruch{Weg}{Zeit} [/mm] ist, muss umgekehrt [mm] Zeit=\bruch{Weg}{v} [/mm] sein.
Also gilt [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{60}.
[/mm]
[mm] t_{2} [/mm] ist schwieriger, weil Du erst mit Pythagoras den zurückgelegten Weg s ausrechnen musst: [mm] s^{2}=(7-x)^{2}+4^{2}.
[/mm]
Wie Du siehst, kommt für s ein Wurzelterm raus.
Daher an dieser Stelle meine Frage:
Habt Ihr Wurzelfunktionen schon diskutiert?
Wenn ja, dann musst Du ab hier weiterrechnen mit t= [mm] t_{1}+t_{2},
[/mm]
diese Funktion (t(x)!) ableiten und die Ableitung =0 setzen. Ich hab's getan und erhalt (ohne Gewähr!) für x etwa 6,116.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 13.02.2005 | | Autor: | andy009 |
Vielen Dank für deine Mühe!
Nachdem ich mich lange mit der Ableitung der Wurzelfunktion gequält habe, habe ich endlich die Lösung gefunden... ;)
mfg andy
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