Antisymmetrisch oder nicht? < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 22.11.2009 | | Autor: | felia79 |
| Aufgabe | R={(x,y) in ZxZ| [mm] (xy-x^2) [/mm] ist ungerade}
Ist es antisymmetrisch?
Allquantor x Allquantor y [ (x,y) in R [mm] \wedge [/mm] (y,x) in R [mm] \rightarrow [/mm] (x=y)]
Allquantor x Allquantor y [ (xy - x²) ist ungerade [mm] \wedge [/mm] (yx - y²) ist ungerade [mm] \rightarrow [/mm] (x=y)]
nicht antisymmetrisch Exisquantor x Exisquantor y [ (x,y) in R [mm] \wedge [/mm] (y,x) in R [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not= [/mm] y)]
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Meine allgemeine Frage ist:
Reicht es wenn x=y gibt oder muss die hinreichende Bedingung auch erfüllt sein?
Zu dieser Aufgabe:
In diesem Falle ist ((xy - [mm] x^2) [/mm] nur ungerade), wenn x ungerade und y gerade ist. Also, kann x nicht gleich y sein, da die Paritäten unterschiedlich sein müssen und umgekehrt also (y,x) nicht funktionieren können.
Damit wäre die hinreichende Bedingung, sowie die notwendige Bedingung für Antisymmetrie unerfüllt. Ist es dann wegen Implikation doch wahr oder nicht? Für die Definition der Nicht-Antisymmetrie komme ich aber auch auf eine falsche Aussage, da 1 [mm] \wedge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] 1 = 0 ergeben, oder?
Ich weiß hier nicht weiter.
Vielleicht könnt ihr mir hier helfen.
Viele Grüße,
felia
Ich habe in keinem anderen Forum diese Fragen gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:26 Mi 25.11.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo felia!
> R={(x,y) in ZxZ| [mm](xy-x^2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist ungerade}
> Ist es antisymmetrisch?
> Allquantor x Allquantor y [ (x,y) in R [mm]\wedge[/mm] (y,x) in R
> [mm]\rightarrow[/mm] (x=y)]
> Allquantor x Allquantor y [ (xy - x²) ist ungerade [mm]\wedge[/mm]
> (yx - y²) ist ungerade [mm]\rightarrow[/mm] (x=y)]
> nicht antisymmetrisch Exisquantor x Exisquantor y [ (x,y)
> in R [mm]\wedge[/mm] (y,x) in R [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not=[/mm] y)]
Das kann man mit [mm] $\forall$ [/mm] und [mm] $\exists$ [/mm] bzw. [mm] $\bigwedge$ [/mm] und [mm] $\bigvee$ [/mm] aber wesentlich lesbarer schreiben.
> Meine allgemeine Frage ist:
> Reicht es wenn x=y gibt oder muss die hinreichende
> Bedingung auch erfüllt sein?
Was verstehst du unter der "hinreichenden Bedingung"? Das vor dem [mm] $\rightarrow$?
[/mm]
Du musst zeigen: gilt $(x, y) [mm] \in [/mm] R$ und $(y, x) [mm] \in [/mm] R$ gleichzeitig, so folgt $x = y$.
> Zu dieser Aufgabe:
> In diesem Falle ist ((xy - [mm]x^2)[/mm] nur ungerade), wenn x
> ungerade und y gerade ist. Also, kann x nicht gleich y
> sein, da die Paritäten unterschiedlich sein müssen und
> umgekehrt also (y,x) nicht funktionieren können.
> Damit wäre die hinreichende Bedingung, sowie die
> notwendige Bedingung für Antisymmetrie unerfüllt. Ist es
> dann wegen Implikation doch wahr oder nicht?
Ja, sie ist wahr. Da die Bedingung auf der linken Seite niemals wahr wird, ist die Implikation automatisch wahr.
> Für die
> Definition der Nicht-Antisymmetrie komme ich aber auch auf
> eine falsche Aussage, da 1 [mm]\wedge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] 1 = 0 ergeben,
> oder?
Ja, und zwar unabhaengig von $x$ und $y$. Damit gibt es keine $x$ und $y$, fuer die das erfuellt ist, womit die ganze Aussage falsch ist.
LG Felix
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