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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Maddox |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Kreis mit Radius R . Aus ihm wird ein Stück hinausgeschnitten. Der Rest, Winkel alpha, wird zu einem Kegel geformt(der unten offen ist). Wie lässt sich der Winkel alpha verändern, damit der Kegel einen möglichst großen Flächeninhalt hat? |
Guten Abend, könntet ihr mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen? Ich komme nicht weiter. Hier mein Lösungsvorschlag:
-Volumen(Kegel)= Pie/3 * [mm] r^2 [/mm] * h
-Radius R = s (Seitenlänge vom Kegel)
-man kann [mm] s^2=r^2+h^2 [/mm] nach h umstellen und sie in V einsetzen, nun fehlt nur noch r
Und hier kommt mein Problem, da ich nicht weiß wie ich das Bogemaß richtig anwende. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde.
Freundliche Grüße
Maddox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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...trotzdem einige Antwortteile.
Unklar ist, was eigentlich gesucht wird. Die Aufgabe sagt "Flächeninhalt", kein sinnvolles Wort bei einem Kegel. Auch kann nicht nur der Mantel gemeint sein, der ist ja leicht aus dem Kreissegment zu ermitteln und natürlich dann am größten, wenn nichts herausgeschnitten wird. Die Gesamtoberfläche des Kegels allerdings erreicht für diesen Fall auch ein Maximum, weil auch die Grundfläche maximal wird, nämlich ebenfalls ein Kreis mit Radius [mm] \a{}R. [/mm] Der Kegel wäre allerdings entartet, da er die Höhe 0 hätte.
So wie Du rechnest, ist wohl eher das Volumen zu maximieren.
Du setzt richtig [mm] \a{}s=R [/mm] an, so dass Du die Volumenformel als [mm] \a{}V=V(r) [/mm] aufstellen kannst. Gut.
Überleg mal eben räumlich, wie der Kegel geformt wird. Der Kreisbogen des verwendeten Kreissegments wird zum Kreis geformt, die beiden Schnittradien werden aneinandergefügt.
Du weißt damit, dass die Länge des Kreisbogens zwei Bedingungen erfüllt:
1) [mm] L=L(R,\alpha)
[/mm]
2) [mm] \a{}L=L(r)
[/mm]
Die zweite Gleichung ist ja einfach zu finden, es ist der Kreisumfang "unten" am Kegel: [mm] L=2\pi \a{}r
[/mm]
Du signalisierst, dass Du Schwierigkeiten mit dem Kreisbogen hast. Der ganze Kreis hat den Kreisbogen [mm] 2\pi \a{}R, [/mm] ein Teil des Kreises, nämlich das Segment mit dem Zentrumswinkel [mm] \alpha, [/mm] muss dann weniger haben...
Das geht ganz offenbar einfach proportional, der gesuchte Kreisbogen verhält sich zum Kreisumfang wie [mm] \alpha [/mm] zu [mm] 2\pi.
[/mm]
Alles in allem hast Du dann erst [mm] \a{}h [/mm] ersetzt, so dass [mm] \a{}V=V(R,r) [/mm] wurde.
Dann wirst Du aus den beiden Gleichungen [mm] \a{}L=L(R,\alpha) [/mm] und [mm] \a{}L=2\pi \a{}r [/mm] das [mm] \a{}L [/mm] eliminieren müssen und [mm] \a{}r=r(R,\alpha) [/mm] bestimmen. Dann bekommst Du eine Darstellung [mm] \a{}V=V(R,\alpha). [/mm] Nun nimmst Du [mm] \a{}R [/mm] als Konstante...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Maddox |
erstmal danke für die schnelle Antwort. Und ja, ich meinte natürlich das Volumen.
Der gesamte Kreisbogen hat den Umfang: 2*Pie*R
Und es ist ebenfalls klar, dass (2*Pie*R)- alpha sein muss,
aber wie kriege ich jetzt da ein Grandmaß rein? Die Antwort sollte in Grad gegeben werden. Muss ich dann nicht schreiben x/2*Pie*R = alpha/ 360 ??
Wenn man das nun nach x umstellt erhält man x= alpha*2*Pie*R/360
Und jetzt müsste x doch =r sein, oder?
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> Der gesamte Kreisbogen hat den Umfang: 2*Pie*R
> Und es ist ebenfalls klar, dass (2*Pie*R)- alpha sein
> muss,
> aber wie kriege ich jetzt da ein Grandmaß rein? Die
> Antwort sollte in Grad gegeben werden. Muss ich dann nicht
> schreiben x/2*Pie*R = alpha/ 360 ??
Die Frage versteh ich nicht, aber die Antwort ist gut, falls Dein x das gleiche ist wie mein L.
>
> Wenn man das nun nach x umstellt erhält man x=
> alpha*2*Pie*R/360
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und jetzt müsste x doch =r sein, oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn ich Dein x mal übernehme, gilt [mm] x=2\pi \a{}r
[/mm]
Und damit [mm] r=R*\bruch{\alpha}{360}
[/mm]
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