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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mo 16.11.2015 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich sitze aktuell an folgendem Problem und komme leider nicht weiter:
Es seien [mm] $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}, (Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] Folgen von ZV'en mit
[mm] $\sqrt{n}X_n \rightarrow \mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2_1)$ [/mm] und
[mm] $\sqrt{n}Y_n [/mm] ~ [mm] \rightarrow \mathcal{N}(\mu_2,\sigma^2_2)$ [/mm] in Verteilung.
Nun definiere für $a,b,c >0$ eine neue Zufallsvariable
[mm] $Z_n=\frac{a}{bX_n^2+cY_n^2}$.
[/mm]
Gibt es eine Chance (zB mit der Delta-Methode) zu sagen, was für eine Grenzverteilung die normierte ZV [mm] $Z_n$ [/mm] besitzt, also:
[mm] $\sqrt{n} Z_n [/mm] ~ [mm] \rightarrow [/mm] ~ ?$
Ich würde mich über jeden Hilfe sehr freuen. Vielen Dank vorab
Grüße, Dester
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Hiho,
es ist doch:
$ [mm] Z_n=\frac{a}{bX_n^2+cY_n^2} [/mm] = [mm] n*\frac{a}{b(\sqrt{n}X)^2 + c(\sqrt{n}Y)^2}$
[/mm]
Vom rechten Faktor kennst du nun den Grenzwert, aber Achtung: Nur, wenn [mm] X_n [/mm] und [mm] Y_n [/mm] unabhängig sind!
Im Allgemeinen kannst du gar keine Aussage über [mm] $\frac{a}{bX_n^2+cY_n^2}$ [/mm] machen, nicht mal über [mm] $X_n [/mm] + [mm] Y_n$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Fr 20.11.2015 | | Autor: | DesterX |
Danke Gonozal für deine Antwort:
Nehmen wir kurz an, dass [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] unabhängig sind.
Ich hätte leider keine Idee gegen was
$ [mm] n\cdot\frac{a}{b(\sqrt{n}X)^2 + c(\sqrt{n}Y)^2}$
[/mm]
in Verteilung konvergieren könnte. Im Nenner steht die Summe zweier chi-Quadrat Verteilungen - hat der Quotient dann eine bekannte Verteilung?
Leider sind [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] tatsächlich nicht unabhängig. Hat man einer Chance, wenn die Kovarianzstruktur bekannt ist?
Danke nochmals!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Fr 20.11.2015 | | Autor: | luis52 |
> Danke Gonozal für deine Antwort:
>
> Nehmen wir kurz an, dass [mm]X_n[/mm] und [mm]Y_n[/mm] unabhängig sind.
> Ich hätte leider keine Idee gegen was
> [mm]n\cdot\frac{a}{b(\sqrt{n}X)^2 + c(\sqrt{n}Y)^2}[/mm]
> in
> Verteilung konvergieren könnte. Im Nenner steht die Summe
> zweier chi-Quadrat Verteilungen - hat der Quotient dann
> eine bekannte Verteilung?
>
Moin ja, eine Chi-Quadratverteilung.
Aber wieso sollte z.B. [mm] $b(\sqrt{n}X)^2$ [/mm] Chi-Quadrat-verteilt sein?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Fr 20.11.2015 | | Autor: | DesterX |
Hallo Luis,
danke für deine Antwort. Meine Frage war zu unpräzise. Ich interessierte mich für die Grenzverteilung von
[mm] $Z_n=\frac{a}{bX_n^2+cY_n^2}$
[/mm]
falls [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] unabhängig sind.
Was ich vermutete, war, dass
[mm] $bX_n^2+cY_n^2$
[/mm]
gegen eine (verschobene) Chi-Quadrat-Verteilung konvergiert - jedoch weiß ich nicht, was mit dem Quotieten [mm] $Z_n$ [/mm] passiert?
Ich würde mich weiter dafür interessieren, ob auch noch eine Aussage möglich wäre, wenn die Abhängigkeitsstruktur von [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] bekannt ist.
Nochmals vielen Dank allen Helfern!
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 22.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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