Anwachsen in Prozent < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich komme bei einer Hausaufgabe zu morgen nicht weiter leider :(
Die Rede ist von Nummer 3b) im folgenden Link.
Den Graph habe ich schon gezeichnet und die Funktionsgleichung y=3x+6 ermittelt.
Nur wie ich das Anwachsen der Blume am Tag berechnen kann ist mir absolut nicht bekannt :
Unser Thema ist Integralrechnung, nur ich weiß auch nicht, was das damit zu tun hat.
Vielen Dank für Antworten schon mal im Voraus =)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Integralrechnung-Anwachsen-in-Prozent
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich komme bei einer Hausaufgabe zu morgen nicht weiter
> leider :(
> Die Rede ist von Nummer 3b) im folgenden Link.
>
> Den Graph habe ich schon gezeichnet und die
> Funktionsgleichung y=3x+6 ermittelt.
> Nur wie ich das Anwachsen der Blume am Tag berechnen kann
> ist mir absolut nicht bekannt :
> Unser Thema ist Integralrechnung, nur ich weiß auch nicht,
> was das damit zu tun hat.
>
> Vielen Dank für Antworten schon mal im Voraus =)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Integralrechnung-Anwachsen-in-Prozent
hallo weezy,
in deiner Gleichung für den Temperaturverlauf bedeutet
y die Temperatur in Celsiusgraden zum Zeitpunkt
x Stunden nach 8Uhr früh. Damit man direkt von
der Uhrzeit auf die Temperatur (die ich T nennen würde)
schliessen kann, müsstest du statt der Variablen x
die Variable t (für die Uhrzeit in h) benützen. Es ist
natürlich t=8+x .
Mit der Wachstumsaufgabe kann ich aber nicht viel
anfangen, weil ich vor allem die Tabelle nicht verstehe.
Haben wir es hier wirklich mit Gänseblümchen zu tun,
die an einem warmen, aber nicht heissen Nachmittag
pro Stunde über 100% wachsen ???
Bei irgendwelchen Mikroben gibt es vielleicht
solches Wachstum, aber kaum bei Gänse- oder
anderen Blümchen.
Wenn du etwas rechnen willst, dann meinetwegen
um zu demonstrieren, wie absurd die Aufgabe ist !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Danke für die Antwort, nur leider hilft es mir nicht weiter..
Naja die Aufgabe ist aus dem Mathe-Buch für die Oberstufe, ich denke mal das muss irgendwie so schon stimmen ^^
Nur ich komme echt leider nicht weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Also bei a) habe ich als Funktionsterm y = 0.35(x-23)²+104
und bei b) y = 3x+6
stimmt das?
wenn ja, wie kann ich nun das Anwachsen berechnen?
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> Also bei a) habe ich als Funktionsterm y = 0.35(x-23)²+104
Vor dem quadratischen Term müsste sicher ein Minuszeichen
stehen ! (die Parabel ist nach unten geöffnet)
> und bei b) y = 3x+6
Wenn hier y die Temperatur bezeichnet, die du in a) mit x
bezeichnet hast und x die Zeitspanne ab 8 Uhr , ja.
Ich würde dir aber wie schon gesagt andere Bezeichnungen
empfehlen.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Zur 1. Gleichung: ach so, ja klar, da habe ich mich nur vertippt... natürlich -0,35
(wenn ich ehrlich bin hab ich den faktor -0,35 nicht selber ermittelt, wie kann man ihn ermitteln? komme grade irgendwie nicht drauf, obwohl ich das eigentlich wissen müsste... der rest des terms leuchtet mir ein)
Nun ja, mein Hauptproblem liegt nun immer noch darin, wie ich das Anwachsen ausrechnen kann (ich denke mal mit der Integralfunktion irgendwie) .. also aufgabe b) muss ich noch hinkriegen
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> Zur 1. Gleichung: ach so, ja klar, da habe ich mich nur
> vertippt... natürlich -0,35
> (wenn ich ehrlich bin hab ich den faktor -0,35 nicht
> selber ermittelt, wie kann man ihn ermitteln? komme grade
> irgendwie nicht drauf, obwohl ich das eigentlich wissen
> müsste... der rest des terms leuchtet mir ein)
Wenn man "glaubt", dass eine Parabel passt, kann
man die Gleichung der Parabel mit Scheitelpunkt (23/104)
bestimmen, die bei x=6 eine Nullstelle hat.
Besser wäre, mit den Daten eine quadratische Regression
durchzuführen, aber ich weiss nicht, ob dir das etwas sagt.
> Nun ja, mein Hauptproblem liegt nun immer noch darin, wie
> ich das Anwachsen ausrechnen kann (ich denke mal mit der
> Integralfunktion irgendwie) .. also aufgabe b) muss ich
> noch hinkriegen
ich bin im Moment auch noch dran ... das Ergebnis wird
aber mit Garantie absurd sein, denn ich nehme den
Buchautor bei seinem Wort - oder besser gesagt bei
seiner Tabelle !
bis später !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Es sagt mir schon was, aber ich meine jetzt nur den Faktor -0,35
es geht ja von der ausgangsform y=c*(x-a)²+b aus
bin auch noch dabei, nur komme irgendwie nicht klar mit der aufgabe...
vielen dank schon mal soweit für das bearbeiten :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) hast du ja die Abhängigkeit des Wachstums von der Temperatur raus. in b) hast du erst mal den Zusammenhang zwischen Zeit und Temperatur raus.
jetzt kannst du in a) diesen Zusammenhang einsetzen. besser nenn dein x t für Zeit und dein y T für Temperatur.
deine Erste Gleichung wäre dann [mm] f(T)=-0,35(T-23°)^2+104
[/mm]
jetzt machst du daraus durch einsetzen deiner Gleichung für T eine Funktion f(t) dann weisst du, wie an dem Tag dein Gänseblümchen in Abh. von der Zeit wächst.
Wenn du dirs jetzt pro Stunde vorstellst würdest du einfach das Wachstum in der ersten Stunde zu dem in der zweiten addieren usw. Wenn dus in halben Stunden rechnest musst du mit halben Stunden Multiplizieren und dann addieren. wenn dus in winzigen Zeitschritten dt rechnest musst du mit denen mult und alles addieren. das ist aber grade das Integral.
Wenn man das kontinuierlich rechchnet ist es also einfach f(t)*dt integriert von t= morgens bis t= abends. (hab vergessen was das für Zeiten waren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
> in b) hast du erst mal den Zusammenhang
> zwischen Zeit und Temperatur raus.
Also ist es richtig wenn ich die Funktion y=3x+6 dafür graphisch darstelle, bzw ist die Funktion so überhaupt richtig? Da die andere ja quadratisch ist und diese linear...
> deine Erste Gleichung wäre dann [mm]f(T)=-0,35(T-23°)^2+104[/mm]
wie kommt man noch mal auf die -0,35 ?
> jetzt machst du daraus durch einsetzen deiner Gleichung
> für T eine Funktion f(t) dann weisst du, wie an dem Tag
> dein Gänseblümchen in Abh. von der Zeit wächst.
Wie sehr ich es auch versuche, nur irgendwie wird mir nicht bewusst wie ich bei dem Schritt vorgehen muss. Was setzte ich wo ein und was erhalte ich...
> Wenn man das kontinuierlich rechchnet ist es also einfach
> f(t)*dt integriert von t= morgens bis t= abends. (hab
> vergessen was das für Zeiten waren.
Es war von 8-16 uhr ... also dann im Integral von 0 bis 8 ?
und im Integral von welcher Funktion?
Vielen dank schon mal für die Mühen =)
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Guten Abend weezy
> wie kommt man noch mal auf die -0,35 ?
Ansatz: [mm] y=a*(T-23)^2+104
[/mm]
Jetzt setzt du T=6 und y=0 ein und berechnest a.
Die Regressionsrechnung gibt praktisch fast
dasselbe Resultat [mm] a\approx [/mm] -0.36 .
Hier kurz meine Formeln:
[mm] t\in[8...16] [/mm] Uhrzeit
$\ T(t)=3t-18$ Temperatur
[mm] r(T)=1.04-0.0036*(T-23)^2 [/mm] Wachtumsrate
(nicht in Prozent, sondern als Anteil von 1)
$\ A(t)$ Grösse des Blümchens zur Zeit t
da Massangaben fehlen, setze ich
einfach die Startgrösse $\ A(8)=1$
(Grösse um 8 Uhr früh)
Für das Wachstum kommt man dann auf die DGL:
$\ A'(t)=A(t)*r(T(t))$
Jetzt kann man die Formeln ineinander einsetzen
und die DGL lösen.
Mein rechnerisches Ergebnis: das Blümchen ist
am Abend etwa 500 mal so gross wie am Morgen,
hat also um 50'000% zugelegt ... siehe dazu
den Kommentar von leduart.
Wichtig zu wissen: ich habe die Angabe
"Wachstumsrate in % pro h =100%" wirklich
so interpretiert, wie es mathematisch richtig
ist, nämlich als Verdoppelung innerhalb jeder
Stunde.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
> Jetzt setzt du T=6 und y=0 ein und berechnest a.
> Die Regressionsrechnung gibt praktisch fast
> dasselbe Resultat [mm]a\approx[/mm] -0.36 .
Ok Danke, das verstehe ich.
Naja und sonst bin ich jetzt bei der Überlegung, dass man eine Funktion Zeit in h auf der x-Achse und Wachstumsrate in % auf der y-Achse anfertigen muss, kann das sein? Nur wie macht man das? ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Ich glaub ich hab's !
Bin mir aber noch unsicher...
Mein Ergebnis lautet 627,6 % Wachstumsrate in den 8 Stunden,
kann das sein? muss das kurz noch mal durchgehen, aber hoffe mal das stimmt
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> Mein Ergebnis lautet 627,6 % Wachstumsrate in den 8
> Stunden,
> kann das sein? muss das kurz noch mal durchgehen, aber
> hoffe mal das stimmt
ich komme eben auf ein viel, viel höheres Resultat ...
doch jetzt geh' ich zur Ruh' .... 
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> Naja und sonst bin ich jetzt bei der Überlegung, dass man
> eine Funktion Zeit in h auf der x-Achse und Wachstumsrate
> in % auf der y-Achse anfertigen muss, kann das sein? Nur
> wie macht man das? ^^
Wenn du das aufzeichnen willst:
[mm] y(t)=-0.36*(T-23)^2+104=-0.36*((3t-18)-23)^2+104=-0.36*(3t-41)^2+104 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
Ja genau, so hab ich das auch gemacht, nur halt ohne aufzeichnen, sondern dann mit dem Integral von 0 bis 8 (zeit in h) und das ergebnis 627,6 ist dann (hoffentlich) die wachstumsrate... so war mein gedankengang nun ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Do 04.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zu deinem Parabelproblem. Ich hoffe du kennst die Scheitelpunkts form. der Scheitel ist bei (23,104) also hat man [mm] y=-a*(x-23)^2+104
[/mm]
ausserdem weisst du z. Bsp noch dass die Parabel durch (6,0)gehen muss also y=0 für x=6 also hast du [mm] 0=-a(6-23)^2+104 [/mm] daraus kannst du a ausrechnen.
Nun zum Integrieren. Wachstumsrate von 100% heisst dass sich das Ding in 1h verdoppelt. In der mathematik nimmt man jetzt an, dass es bei derselben Wachstumsrate sich in der selben Zeit wieder verdoppelt.
das hiesse etwa in 8 Stunden bei 20° wurde es sich 8 mal verdoppeln. wenn es also am Anfang 1cm großß waäre nach 1h 2cm nach 2h 4 cm nach 3h 8cm usw nach 8 h d<aann [mm] 2^8=256cm. [/mm] wenns am Anfang nur 1mm gross wär wär es nach 8h schon 256mm=25,6 cm gross. und das kann ja bei Gänseblümchen nicht stimmen.
Deshalb muss deine Tabelle was anderes meinen und immer nur das um die angegebenen % erhöhen, die es am Anfang hatte. Wenn das so gemeint ist hast du mit deinen 627% recht. Aber das Buch ist dann mit dem Begriff "Wachstumsrate" falsch. Danach solltest du in der Schule fragen!
Gruss leduart
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> Hallo
> 1. zu deinem Parabelproblem. Ich hoffe du kennst die
> Scheitelpunkts form. der Scheitel ist bei (23,104) also hat
> man [mm]y=-a*(x-23)^2+104[/mm]
> ausserdem weisst du z. Bsp noch dass die Parabel durch
> (6,0)gehen muss also y=0 für x=6 also hast du
> [mm]0=-a(6-23)^2+104[/mm] daraus kannst du a ausrechnen.
> Nun zum Integrieren. Wachstumsrate von 100% heisst dass
> sich das Ding in 1h verdoppelt. In der Mathematik nimmt man
> jetzt an, dass es bei derselben Wachstumsrate sich in der
> selben Zeit wieder verdoppelt.
> Das hiesse etwa in 8 Stunden bei 20° würde es sich 8 mal
> verdoppeln. wenn es also am Anfang 1cm groß wäre nach 1h
> 2cm nach 2h 4 cm nach 3h 8cm usw nach 8 h dann [mm]2^8=256cm.[/mm]
> wenns am Anfang nur 1mm gross wär, wär es nach 8h schon
> 256mm=25,6 cm gross. Und das kann ja bei Gänseblümchen
> nicht stimmen.
> Deshalb muss deine Tabelle was anderes meinen und immer
> nur das um die angegebenen % erhöhen, die es am Anfang
> hatte. Wenn das so gemeint ist hast du mit deinen 627%
> recht. Aber das Buch ist dann mit dem Begriff
> "Wachstumsrate" falsch. Danach solltest du in der Schule
> fragen!
> Gruss leduart
Hallo leduart und weezy,
ich denke, genau das Letztere ist der Fall. Sinnvollerweise
würde im Buch z.B. stehen, dass das Gänseblümchen,
eigentlich hauptsächlich sein Stengel, bei einer Temperatur
von 20° pro Stunde um 1cm wächst, etc. (keine Prozent !).
In diesem Fall besteht die Lösung im Berechnen des
Integrals einer quadratischen Funktion, was dem Ober-
stufenstoff in Integralrechnung angemessen ist.
Nimmt man aber den Schulbuchautor beim Wort, kommt
man auf eine Differentialgleichung einer Art, die wohl
nur ausnahmsweise einmal in einem Leistungskurs an
der Schule behandelt wird und im Übrigen eher in Analysis I
an der Uni gehört.
Gruß
al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
Die Gänseblümchen wachsen - in der Wachstumsphase- wirklich so schnell, zumindest auf unseren Rasen in einer Stunde bei warmem Wetter schon mal um 100% ! Morgens noch kaum zu sehen, Mittags in voller Größe!
(sie bleiben natürlich nach dieser Zeit noch immer klein!)
Gruss leduart
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> Hallo Al
> Die Gänseblümchen wachsen - in der Wachstumsphase-
> wirklich so schnell, zumindest auf unseren Rasen in einer
> Stunde bei warmem Wetter schon mal um 100% ! Morgens noch
> kaum zu sehen, Mittags in voller Größe!
> (sie bleiben natürlich nach dieser Zeit noch immer
> klein!)
> Gruss leduart
hallo leduart,
Danke für die Antwort. Da werde ich im kommenden
Mai mal einen Tag mit Lupe und Makrokamera im
Rasen (z.B. im Schwimmbad) verbringen, um das
wirklich einmal zu sehen und zu dokumentieren.
Nach meiner Rechnung wächst aber das Blümchen
innert 8 Stunden um 50'000% (in Worten: fünfzig-
tausend Prozent). Ich verharre noch irgendwo
zwischen Zweifel und Staunen. Einen rechnerischen
Irrtum schliesse ich inzwischen eher aus.
schönen Abend noch !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 03.12.2008 | | Autor: | weezy |
50.000% ?
was hast du denn da gerechnet?
ich hatte wenn ich die Funktion integriere ca. 1800% raus, was ich auch schon für unlogisch halte
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> 50.000% ?
> was hast du denn da gerechnet?
Jetzt sehe ich erst, dass da noch diese Frage steht.
Gut, das ging so:
Eine von der Zeit t abhängige Wachstumsrate r(t)
einer Grösse A(t) bedeutet:
[mm] \dot{A}(t)=\bruch{dA(t)}{dt}=A(t)*r(t)
[/mm]
In unserem Beispiel ist
[mm] r(t)=1.04-0.0036*(T-23)^2=1.04-0.0036*((3t-18)-23)^2=-0.0324t^2+0.8856t-5.0116
[/mm]
Die DGL lautet also:
[mm] \dot{A}(t)=A(t)*(-0.0324t^2+0.8856t-5.0116)
[/mm]
Die Lösung dazu ist:
[mm] A(t)=K*e^{-0.018t^3+0.4428t^2-5.0116t}
[/mm]
Die Anfangsbedingung $A(8)=1$ (Grösse am Morgen als
Maß(-liebchen)-Einheit gesetzt) liefert [mm] K\approx 32*10^6 [/mm] .
Setzt man dies ein, erhält man [mm] A(16)\approx501.
[/mm]
Dies würde also bedeuten, dass das Blümchen seine
anfängliche Grösse um das 500-fache erhöht hätte.
Der Zuwachs in Prozent wäre also $\ 500*100$% $\ =\ 50'000$% !
mit maßlieblichem Gruß ! ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") Al-Chwarizmi
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> > 50.000% ?
> > was hast du denn da gerechnet?
>
>
> Jetzt sehe ich erst, dass da noch diese Frage steht.
> Gut, das ging so:
>
> Eine von der Zeit t abhängige Wachstumsrate r(t)
> einer Grösse A(t) bedeutet:
>
> [mm]\dot{A}(t)=\bruch{dA(t)}{dt}=A(t)*r(t)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
diese so nett und überzeugend aussehende DGL ist falsch !
siehe unten !
> In unserem Beispiel ist
>
> [mm]r(t)=1.04-0.0036*(T-23)^2=1.04-0.0036*((3t-18)-23)^2=-0.0324t^2+0.8856t-5.0116[/mm]
>
> Die DGL lautet also:
>
> [mm]\dot{A}(t)=A(t)*(-0.0324t^2+0.8856t-5.0116)[/mm]
>
> Die Lösung dazu ist:
>
> [mm]A(t)=K*e^{-0.018t^3+0.4428t^2-5.0116t}[/mm]
>
> Die Anfangsbedingung [mm]A(8)=1[/mm] (Grösse am Morgen als
> Maß(-liebchen)-Einheit gesetzt) liefert [mm]K\approx 32*10^6 .[/mm]
>
> Setzt man dies ein, erhält man [mm]A(16)\approx501.[/mm]
> Dies würde also bedeuten, dass das Blümchen seine
> anfängliche Grösse um das 500-fache erhöht hätte.
>
> Der Zuwachs in Prozent wäre also [mm]\ 500*100[/mm]% [mm]\ =\ 50'000[/mm]% !
>
>
> mit maßlieblichem Gruß ! Al-Chwarizmi
>
>
Seit einem halben Tag steht meine obige Lösung da,
und noch niemand hat (nach weezy) reklamiert, dass
mein Ergebnis doch irgendwie zu hoch sein müsse.
Nach leduart gilt aber:
> Wachstumsrate von 100% heisst, dass sich das Ding
> in 1h verdoppelt.
> .....
> das hiesse etwa in 8 Stunden bei 20° würde es sich
> 8 mal verdoppeln. Wenn es also am Anfang 1cm groß
> wäre nach 1h 2cm, nach 2h 4 cm, nach 3h 8cm usw. ,
> nach 8 h dann 256cm. Wenn's am Anfang nur 1mm gross
> wär, wär es nach 8h schon 256mm=25,6 cm gross,
> und das kann ja bei Gänseblümchen nicht stimmen.
Nun sind aber ja am betrachteten Tag die Temperaturen
am Morgen recht frisch und nur während weniger
Stunden "wachstumsoptimal". Also kann ein Wachstum
um den Faktor 500, also noch weit über [mm] 2^8=256 [/mm] ,
irgendwie doch nicht stimmen.
Aber wo liegt der Fehler ?
Ich habe längere Zeit gerätselt, bis ich drauf kam,
dass ich die DGL doch falsch aufgestellt hatte. Meine
Ansicht war: Wachstumsrate 100%=1 (pro Zeiteinheit)
bedeutet
[mm] \dot{A}(t)=1*A(t). [/mm]
Man kann sich aber leicht davon überzeugen, dass
dies nicht stimmt, denn dies führt nicht zu einer
Verdoppelung, sondern zu einer Ver-e-fachung
pro Zeiteinheit ! Für das Wachstum mit der (konstanten)
Wachstumsrate von 100% muss die Formel
[mm] A(t)=A_0*2^t [/mm] gelten, nicht [mm] A(t)=A_0*e^t [/mm] !
Die (jetzt hoffentlich richtige) DGL müsste lauten:
[mm]\dot{A}(t)=A(t)*\blue{ln(2)}*r(t)[/mm]
Mit dem obigen
[mm]r(t)=1.04-0.0036*(T-23)^2=-0.0324t^2+0.8856t-5.0116[/mm]
führt dies auf die Lösung
[mm] A(t)=K*e^{-0.007486t^3+0.3069t^2-3.474t}
[/mm]
A(8)=1 ergibt K=159500, und damit wird [mm] A(16)\approx [/mm] 74
Also doch nicht 50'000% Zuwachs, aber immer noch
satte 7300 Prozent.
Von einem Millimeter (Länge des Stiels) auf 74mm ?
Ich muss wirklich im kommenden Frühling einmal
den Gänseblümchen zuschauen !
 Al-Chw.
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