Anwendung Fubini-Theorem < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 01.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | In einer Version des Papers "Anticipating linear stochastic differential equation driven by a [mm] L\'evy [/mm] process" wird auf Seite 20 folgende Umformung mit Fubini's Theorem durchgeführt:
Für fast alle [mm] $\omega''$ [/mm] gilt:
[mm] $\mathcal{L}_{0,t}(\omega',\omega'')Y(t,T_t(\omega',\omega''),\omega'')$
[/mm]
[mm] $=X(0,\omega',\omega'')+\int_0^tb(s,T_s(\omega',\omega''),\omega'')Y(s,T_s(\omega',\omega''),\omega'')\mathcal{L}_{0,s}(\omega',\omega'')\;ds$
[/mm]
[mm] $+\int_0^t\int_{\R^0}v(s,y,T_s(\omega',\omega''),\omega'')Y(s-,T_s(\omega',\omega''),\omega'')\mathcal{L}_{0,s}(\omega',\omega'')\;d\tilde{N}(s,y)$
[/mm]
[mm] $P_{\omega'}$-f.s., [/mm] woraus mit Fubini's Theorem folgt:
Für fast alle [mm] $\omega'$ [/mm] ist
[mm] $\mathcal{L}_{0,t}(\omega',\omega'')Y(t,T_t(\omega',\omega''),\omega'')$
[/mm]
[mm] $=X(0,\omega',\omega'')+\int_0^tb(s,T_s(\omega',\omega''),\omega'')Y(s,T_s(\omega',\omega''),\omega'')\mathcal{L}_{0,s}(\omega',\omega'')\;ds$
[/mm]
[mm] $+\int_0^t\int_{\R^0}v(s,y,T_s(\omega',\omega''),\omega'')Y(s-,T_s(\omega',\omega''),\omega'')\mathcal{L}_{0,s}(\omega',\omega'')\;d\tilde{N}(s,y)$
[/mm]
[mm] $P_{\omega''}$-f.s. [/mm] |
Wo finde ich eine passende Version von Fubini's Theorem, welche diesen Rollentausch von [mm] $\omega'$ [/mm] und [mm] $\omega''$ [/mm] ermöglicht? In einer zweiten Version des gleichen Papers wird die Umformung folgendermaßen begründet:
Da alle Faktoren messbar sind, können [mm] $\omega'$ [/mm] und [mm] $\omega''$ [/mm] getauscht werden.
Das komplette Paper findet ihr hier:
 http://arxiv.org/pdf/1207.1692v1.pdf
Ich würde mich freuen, wenn jemand mein Problem lösen könnte.
Viele Grüße
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
nach zweimaligem durchlesen finde ich keinen Unterschied zwischen deinem ersten Ausdruck und deinem zweiten.
Da gibt es also nichts zu beweisen 
Tipp: [mm] \IR^0 [/mm] machst du mit \IR^0 nicht mit \R^0
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mo 02.02.2015 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Gono,
vielen Dank für die Information. Mir geht es um eine Literaturquelle, in welcher eine solche Version des Fubini-Theorems erwähnt wird. Mir waren bis dahin nur Versionen bekannt, in welchen Integrationsreihenfolgen vertauscht werden.
Hast du da einen Tipp für mich?
Viele Grüße
DerGraf
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Hiho,
ich bezeichne mit [mm] $G(\omega',\omega'')$ [/mm] mal die von dir zitierte Gleichung, dann steht da also:
[mm] $P\left(\{\omega'': P(\{\omega': G(\omega',\omega'')\}) = 1\}\right) [/mm] = 1$
Sei nun [mm] E_1 [/mm] die Integration bezüglich [mm] \omega' [/mm] und [mm] E_2 [/mm] die für [mm] $\omega''$, [/mm] dann steht da mit $B = [mm] \{\omega': G(\omega',\omega'')\}$ [/mm] und $A = [mm] \{\omega'': P(B) = 1\} [/mm] = [mm] \{\omega'': E_1[1_B] = 1\}$ [/mm] also:
$1 = P(A) = [mm] E_2\left[1_A\right] [/mm] = [mm] E_2\left[1_{\{\omega'': E_1[1_B] = 1\}}\right] [/mm] = [mm] E_2\left[E_1[1_B]*1_A\right] [/mm] = [mm] E_2\left[E_1\left[1_B*1_A\right]\right]$
[/mm]
Jetzt kannst du Fubini anwenden und erhälst letztlich, dass die Aussage eben auch mit vertauschten Rollen von [mm] \omega' [/mm] und [mm] \omega'' [/mm] fast sicher gilt.
Gruß,
Gono
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