Anwendung Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{\partial B_5(0)}{\bruch{e^z}{z(1-z^2)} dz} [/mm] |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe wie folgt über den Residuensatz lösen:
Die Residuen zu [mm] a_i [/mm] = 0,1,-1 sind:
Res(f,0) = 1
Res(f,1) = [mm] -\bruch{e}{2}
[/mm]
Res(f,-1) = [mm] -\bruch{1}{2e}
[/mm]
Also gilt mit dem Residuensatz:
[mm] \integral_{\partial B_5(0)}{\bruch{e^z}{z(1-z^2)} dz} [/mm] = [mm] 2*i*\pi [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{3} Res(f,a_i) [/mm] = [mm] 2*i*\pi [/mm] * 1 * [mm] -\bruch{e}{2} [/mm] * [mm] -\bruch{1}{2e} \sim [/mm] 3.41i
Nun meine Frage: kann der Flächeninhalt im komplexen auch imaginär sein? Daran zweifle ich nämlich. Wo liegt dann mein Fehler?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 30.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Gegenfrage: Wo kommt bei dieser Aufgabe ein Flächeninhalt vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Pauli85 |
Ich meinte... Da habe ich die ganze Zeit wohl an Riemann-Integrale in [mm] \IR [/mm] gedacht ^_^
So richtig Gedanken darüber mache ich mir erst jetzt, nachdem du mich darauf Aufmerksam gemacht hast. Was genau ist eigentlich der Wert, den ich durch so ein Kurvenintegral erhalte? Kann dieser also doch imaginär sein?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 31.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pauli85,
bei einer Integration im Reellen entlang einer Kurve kommen reelle Werte dabei heraus, es muss nicht unbedingt der Flächeninhalt unter einer Kurve sein, weswegen soll also bei einer Integration im Komplexen nicht auch ein komplexes Ergebnis rauskommen? Die Auslegung eines Integrals als Flächeninhalt ist etwas, was uns als Menschen sofort anspricht, da wir mit dem Ergebnis eine weitere Größe verbinden können, uner der wir uns etwas vorstellen können. Das muss aber keineswegs immer so sein und im Komplexen hätte ich auch meine Schwierigkeiten damit.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Di 31.12.2013 | | Autor: | Pauli85 |
Stimmt, du hast Recht. Ich sollte mich so langsam von dem Gedanken des Flächeninhalts lösen.
Habe die Aufgabe übrigends gerade mal mit einem Kurvenintegral nachgerechnet - und es kam das selbe raus. Hätte ich eigentlich auch gleich machen können >.<
Danke für die Antworten!
|
|
|
|
