Anwendung Sinus/Cosinussatz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 06.01.2016 | | Autor: | TMaus |
| Aufgabe | Berechnen Sie die fehlenden Seitenlängen und Winkel des Dreiecks, bei dem folgende Eigenschaften bekannt sind:
a= 7.7cm
c= 6.3cm
[mm] $\beta$ [/mm] = 24° |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Forengemeinde,
ich habe unverständlicherweise ein Problem bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes.
Vorweg: Beide Sätze sind bekannt und verstanden.
[mm] $\bruch{sin(\alpha)}{a} [/mm] = [mm] \bruch {sin(\beta)} [/mm] {b} = [mm] \bruch{sin(\gamma)} [/mm] {c}$
[mm] $b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] -2ac [mm] \cdot cos(\beta)$
[/mm]
Leider habe ich dennoch in obiger Aufgabe Probleme diese zu lösen.
Meine Herangehensweise:
Berechne mit dem Cosinussatz zunächst die Seitenlänge b
[mm] $b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] -2ac [mm] \cdot cos(\beta)$
[/mm]
$b = [mm] \sqrt{a^2 + c^2 -2ac \cdot cos(\beta)}$
[/mm]
$b = [mm] \sqrt{59.29cm^2 + 39.69cm^2 -2 \cdot 7.7cm \cdot 6.3cm \cdot cos(24°)}$
[/mm]
$b [mm] \approx [/mm] 3.2 cm$
Jetzt wird der Sinussatz verwendet um einen der fehlenden Winkel zu berechnen, hier [mm] $\alpha$
[/mm]
[mm] $sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} \cdot sin{\beta}$
[/mm]
[mm] $sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{7.7cm} [/mm] {3.2cm} [mm] \cdot [/mm] sin(24°)$
[mm] $\alpha \approx [/mm] 78°$
Und über die Innenwinkelsumme zuletzt der fehlende Winkel [mm] $\gamma$
[/mm]
[mm] $\gamma [/mm] = 180° -78° - 24° = 78°$
Soweit so gut, allerdings müsste der selbe Winkel [mm] $\gamma$ [/mm] sich ja ebenfalls über den Sinussatz berechnen lassen um auf das selbe Ergebnis zu kommen.
[mm] $\bruch {sin(\gamma)}{c} [/mm] = [mm] \bruch {sin(\beta)} [/mm] {b}$
[mm] $sin(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{c}{b} \cdot sin(\beta)$
[/mm]
[mm] $sin(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{6.3cm}{3.2cm} \cdot [/mm] sin(24°)$
[mm] $\gamma \approx [/mm] 53°$
Warum komm ich hier nicht auf das selbe Ergebnis?
Ich bin mir sicher es liegt nur an einer Kleinigkeit, über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße und vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 06.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallound ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die fehlenden Seitenlängen und Winkel des
> Dreiecks, bei dem folgende Eigenschaften bekannt sind:
> a= 7.7cm
> c= 6.3cm
> [mm]\beta[/mm] = 24°
Du hast hier den ![[]](/images/popup.gif) Kongruenzsatz [mm] SSw_{g} [/mm] gegeben, dieser fürht, wenn der Winkel der kürzeren gegebenen Seite gegenüberliegt, zu zwei möglichen Dreiecken.
Hier mal, anhand deines Beispiels:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Forengemeinde,
>
> ich habe unverständlicherweise ein Problem bei der
> Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes.
> Vorweg: Beide Sätze sind bekannt und verstanden.
>
> [mm]\bruch{sin(\alpha)}{a} = \bruch {sin(\beta)} {b} = \bruch{sin(\gamma)} {c}[/mm]
>
> [mm]b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot cos(\beta)[/mm]
>
> Leider habe ich dennoch in obiger Aufgabe Probleme diese zu
> lösen.
> Meine Herangehensweise:
> Berechne mit dem Cosinussatz zunächst die Seitenlänge b
> [mm]b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot cos(\beta)[/mm]
> [mm]b = \sqrt{a^2 + c^2 -2ac \cdot cos(\beta)}[/mm]
>
> [mm]b = \sqrt{59.29cm^2 + 39.69cm^2 -2 \cdot 7.7cm \cdot 6.3cm \cdot cos(24°)}[/mm]
>
> [mm]b \approx 3.2 cm[/mm]
Das ist ok.
>
> Jetzt wird der Sinussatz verwendet um einen der fehlenden
> Winkel zu berechnen, hier [mm]\alpha[/mm]
Die Idee ist super, du musst aber hier dann die zweite mögliche Lösung des Sinus im Intervall (0°;180°) nutzen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Do 07.01.2016 | | Autor: | TMaus |
Gut, soweit verstanden, dann komme ich bei der Version mit der kurzen Seitenlänge von b (3.2cm) auf [mm] $\alpha \approx [/mm] 78,15°$, [mm] $\gamma \approx [/mm] 126,8°$ und somit ziemlich auf die Innenwinkelsumme von 180°.
Jetzt interessiert mich natürlich das größere Dreieck auch noch; und die logische Herangehensweise wäre einfach:
$sin(x) = sin(180°-x)$
und damit [mm] $\alpha \approx [/mm] 101,85°$ und [mm] $\gamma \approx [/mm] 53,2°$
Nur stört mich etwas, dass die größere Seite "b" sich nicht direkt mit dem Cosinussatz berechnen lässt:
$ [mm] b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] -2ac [mm] \cdot cos(\beta) [/mm] $
Alle Parameter sind ja in Stein gemeiselt (durch die Aufgabenstellung so vorgegeben), was ich mir wünsche wäre eine zweite Lösung für b, aber außer der negativen Lösung wüsste ich jetzt auf die Schnelle nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 07.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da cos(24)=-cos(180-24) gilt, würde ich mal versuchen, b mit [mm] b=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos(180-24)} [/mm] zu berechnen.
Dann kommst du auf [mm] b\approx13,7cm
[/mm]
Marius
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