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| Aufgabe | | Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse in O und schneidet sie in P (6|0) unter einem Winkel von 45°. Welche Fläche schließt die Parabel mit der Tangente in P ein? |
Hallo ihr Lieben, bin gerade voll am verzweifeln. Ich komm nicht dahinter, wie ich die Parabel rekonstruieren soll, um die Fläche auszurechnen.
[mm] y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}^+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
Und wenn ich P in f(x) einsetze erhalte ich d=6. Außerdem habe ich mir überlegt, dass f'(x)=0 im Punkt O. Aber da bin ich mir nicht so sicher.
Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich jetzt weiterkommen kann?
LG, kaktus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 So 15.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin kaktus,
> Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse in O und
> schneidet sie in P (6|0) unter einem Winkel von 45°. Welche
> Fläche schließt die Parabel mit der Tangente in P ein?
> Hallo ihr Lieben, bin gerade voll am verzweifeln. Ich komm
> nicht dahinter, wie ich die Parabel rekonstruieren soll, um
> die Fläche auszurechnen.
>
> [mm]y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}^+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
> f''(x)=6ax+2b
>
> Und wenn ich P in f(x) einsetze erhalte ich d=6. Außerdem
> habe ich mir überlegt, dass f'(x)=0 im Punkt O. Aber da bin
> ich mir nicht so sicher.
> Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich jetzt
> weiterkommen kann?
> LG, kaktus
also zunächst, denke ich, ist mit O der Ursprung (0/0) gemeint. Dann wäre d=0
bei x=6 soll f(x)=0 sein, d.h. in P liegt eine Nullstelle vor:
0= [mm] a*6^3 +b*6^2 [/mm] +c*6 +0
hast du schon mal eine gleichung.
f'(6)= 1 tan 45°=1 m.E.
1 = [mm] 3*a*6^2 [/mm] + 2*b*6 + c
hast du schon mal die zweite gleichung
und jetzt fehlt nur noch die dritte gleichung...
erstmal bis dahin... vielleicht kommst du jetzt weiter?
achso, wenn die funktion die x-achse in O (0/0) berührt, dann ist die steigung hier gleich null (es liegt hier ein HP oder TP vor)
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 So 15.04.2007 | | Autor: | MarinaS |
Ich weiß nicht genau, ob das alles so richtig ist. Aber eigentlich müsstest du wenn du so rechnest auf die folgenden Ergebniss kommen:
Die Funktion dritten Grades lautet:
f(x)= [mm] \bruch{1}{36} x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} x^{2} [/mm]
Die Gerade durch den Punkt P mit der Steigung tan 45° = 1 = m lautet:
g(x) = x -6
Die Schnittpunkte von f(x) und g(x) sind bei [mm] P_{1} [/mm] ( -6 / -12 ) und bei
[mm] P_{2} [/mm] ( 6 / 0 ).
Also muss man nur noch das Integral wie folgt bestimmen, damit man weiß, welche Fläche die Gerade mit der der Funktion 3. Grades einschließt.
[mm] \integral_{-6}^{6}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-6}^{6}{f(x) dx} [/mm] = 72 - 24 = 48
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