Anwendungsaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Seil auf dem eine Gondel hin und her fährt ist zwischen Punkt P und Punkt Q 50m lang. Vom Punkt Q bis zur spitze eines Berges sind es 15m und vom Berg bis zum Boden sind es 20m. Vom Punkt P bis zum Boden sind es 15m. Das Seil hat (durch die Gondel) einen leichten Durchhang (Parabelförmig).
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Hi
Hab hier oben angegebene aufgabenstellung.
Wir sollen nun folgendes bestimmen:
a) Gleichung der Parabel
b) Wo ist die stelle mit dem steilsten Durchhang
c) Wo ist die tiefste und wo ist die steilste Stelle
Wie soll ich das ganze angehen?
Danke schonmal im voraus
Gruß
Laythuddin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Sa 16.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine Parabel hat ja die allgemeine Form p(x)=ax²+bx+c.
Jetzt hast du drei Eigenschaften gegeben, um diese zu bestimmen.
Mach dir mal eine Skizze, lege den Ursprung fest, und versuche, die Koordinaten von drei Punkten anhand der Angaben zu bestimmen. Diese setze dann mal in die allgemeine Form ein, dann bekommst du ein LGS, um a, b und c zu bestimmen
Hast du das, kannst du mit Hilfe der Ableitung Aufgabe b und c lösen.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
sorry, dass ich mich einmische, aber:
Sollt ihr eine Funktion ax²+c oder eien Funktion ax²+bx+c bestimmen? Meiner Meinung nach kann man dem Text nur maximal zwei Punkte entnehmen, und zwar auch nur dann, wenn man die Gerade PQ als genauso lang wie die Kurve von P nach Q ansieht (50m).
Oder sieht das jemand anders?
Grüße
Oli
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> Sollt ihr eine Funktion ax²+c oder eien Funktion ax²+bx+c
> bestimmen? Meiner Meinung nach kann man dem Text nur
> maximal zwei Punkte entnehmen, und zwar auch nur dann, wenn
> man die Gerade PQ als genauso lang wie die Kurve von P nach
> Q ansieht (50m).
>
> Oder sieht das jemand anders?
Hallo,
mit dem Einsetzen dreier Punkte scheint es mir jedenfalls nicht getan zu sein. Nicht, wenn die Aufgabenstellung wirklich so lautete wie angeben.
Sei [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] die gesuchte Parabel.
Meinem Verständnis nach haben wir einen Punkt P( 0/ 15), einen Punkt [mm] Q(q_1, q_2) [/mm] und einen Berg [mm] B(b_1, [/mm] 20).
Weiter kennen wir die Länge des Graphen zwischen P und Q: [mm] 50=\integral_{0}^{q_1}{\wurzel{1+(f'(x))^2} dx}
[/mm]
und die Entfernung zwischen Q und B: [mm] 15^2=(b_1-q_1)^2+(20-q_2)^2.
[/mm]
Nun würde ich versuchen zu rechnen - habe im Moment jedoch keine Zeit dafür.
Jedenfalls kommt mir das etwas schwieriger vor als die üblichen Steckbriefaufgaben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Ich denke nicht, dass man für die 11. Klasse vorraussetzen kann, dass man über das Integral die Länge des Seils bestimmen kann. Das haben wir im LK 13 noch nichtmal länger als 10 Minuten besprochen. Desweiteren denke ich, dass man Q(0|5) und P(x|15) als zwei Punkte ansehen kann, vermutlich sogar Q(0|5) und [mm] P(\wurzel{50²-10²}|15) [/mm] als Näherung für den Abstand in der Horizontalen (PQ wird als gerade angenommen).
Doch auch jetzt fehlt uns noch eine Bedingung...
Grüße
Oli
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
hab jetzt das gemacht was du gesagt hast und bekomme folgende werte raus:
a= 0,012
b= -1/5
c= 15
das heißt ich bekomme folgende gleichung raus:
f(x)= [mm] (3/250)*x^2+(-1/5)*x+15
[/mm]
Jetzt muss ich die erste und zweite Ableitung bestimmen und kann den Minimum für aufgabe b bestimmen. oder? Aber wie siehts mit aufgabe c) aus?
Danke
Gruß
Laythuddin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Bevor du weiterrechnest: Schreib erstmal auf, wie du auf deine Funktionsgleichung gekommen bist und welchen Ursprung du benutzt hast, denn daran rätseln ja sogar wir noch rum...
Und dann kannst du bei c) die NS der 1. und 2. Ableitung bestimmen, um Extrempunkte (höchste/tiefste Stelle) und Wendepunkte (steilste Stelle) zu bestimmen.
Und schreib doch bitte nochmal die komplette Aufgabenstellung auf, falls da was fehlte...
Grüße
Oli
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Hi
Danke erstmal für eure Antworten.
Ich habe folgendes gemacht: als erstes habe ich die Punkte (0|15) genommen, somit bekomme ich dann für c = 15 raus. Danach habe ich den Punkt (50|35) genommen.
Somit lautete meine gleichung: f(50)=> 2500a+50b+15= 35=> 20=2500a+50b.
Da ich ja noch 2 unbekannte habe, brauche ich noch eine gleichung die lautet: f'(50)=1 => 1= 100a+b und jetzt diese gleichung multiplieziert mit 25 ergibt: 25= 2500a+25b.
jetzt habe ich 2 gleichungen und diese voneinander abgezogen ergibt folgendes:
b=-1/5
Und somit erhalte ich auch für a= 3/250.
Ich habe jetzt die erste und zweite ableitung von der Funktion, diese lauten:
f(x)= [mm] (3/250)*x^2-(1/5)*x+15
[/mm]
f´(x)= [mm] (6/250)*x^1-(1/5)
[/mm]
f´´(x)= 6/250
jetzt noch von der ersten ableitung die Nullstelle bestimmen oder? aber meine zweite ableitung ergibt eine zahl die > 0 ist. das heist doch dann das hier ein minimum vorliegt also die tiefste stelle. oder? aber wie kriege ich nun die steilste stelle raus? und wie die steilste Stelle des Durchhangs?
Danke
Gruß
Laythuddin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 17.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Was ist mit steilster Durchhang gemeint? Die größte Differenz zwischen der Funktion und der Geraden zwischen den Punkten? Dann müsstest du die Differenzfunktion aufstellen und ableiten.
Das Maximum der Steigung ist gleichzeitig die Wendestelle, sagt dir das was?
Und zu deinem Punkt... Woher nimmst du denn (50|35) und f'(50)=1? Diese Bedingungen kann ich in der Aufgabe nicht finden...
Grüße
Oli
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Hi
Sorry das ich so spät antworte.
Den Punkt (50|35) nehme ich daraus das der Berg 20m vom boden hoch ist und vom berg zum Seil wären es wieder 15m also insgesamt 35m. Und von Punkt P bis Punkt Q des Seils sind es 50m!
Stimmt das nicht?
Gruß Laythuddin
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> Den Punkt (50|35) nehme ich daraus das der Berg 20m vom
> boden hoch ist und vom berg zum Seil wären es wieder 15m
> also insgesamt 35m.
Hallo,
dann ist also der Punkt Q 15m weiter über dem Boden als der Gipfel des Berges? Seltsame Seilbahn.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:21 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Laythuddin |
Hi
Ja genau. Der Punkt Q ist 35m über dem Boden und der Punkt P ist 15m über dem Boden.
Was ich aber immer noch nicht verstanden habe ist, wie es nun aussieht mit der tiefsten und der steilsten stelle (wie kan ich diese bestimmen)? Und wie bestimme ich die steilste stelle des Durchhangs?
Gruß
Laythuddin
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> Hi
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> Ja genau. Der Punkt Q ist 35m über dem Boden und der Punkt
> P ist 15m über dem Boden.
Hallo,
und wo ist das Seil festgemacht? In der Luft? Freischwebend 25 m über dem Gipfel?
Mir ist das Bild, das Du Dir zur Situation machst, nicht klar - und es scheint ein völlig anderes zu sein als meins. Und bevor die Situation nicht klar ist, braucht man ja nichts zu rechnen.
Willst Du nur mit 2 Parabelpunkten rechnen?
Was denkst Du Dir, wenn Du schreibst: f'(50)=1? Ich kann dem nicht folgen.
> Was ich aber immer noch nicht verstanden habe ist, wie es
> nun aussieht mit der tiefsten und der steilsten stelle (wie
> kan ich diese bestimmen)?
Naja, wenn erstmal die Parabelgleichung steht, ist der tiefste Punkt ja eine einfache Extremwertberechnung, bzw. mit der Scheitelpunktsform kann man das wohl auch lösen.
Für die steilste Stelle berechnet man dann, wo die Ableitung am größten ist, auch kein echtes Problem.
> Und wie bestimme ich die steilste
> stelle des Durchhangs?
Was ist mit "steilste Stelle des Durchhanges" gemeint?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:57 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Laythuddin |
> und wo ist das Seil festgemacht? In der Luft? Freischwebend
> 25 m über dem Gipfel?
Das Seil hängt von einer seite zur anderen, aber das was uns interessiert sind nur das geschehen zwischen Punkt P und Punkt Q.
> Willst Du nur mit 2 Parabelpunkten rechnen?
>
> Was denkst Du Dir, wenn Du schreibst: f'(50)=1? Ich kann
> dem nicht folgen.
Diese ganze Rechnung wegen der Parabelgleichung und den Punkten wurde uns in der Stunde gegeben. Das heißt die Parabelgleichung stimmt schon.
> Naja, wenn erstmal die Parabelgleichung steht, ist der
> tiefste Punkt ja eine einfache Extremwertberechnung, bzw.
> mit der Scheitelpunktsform kann man das wohl auch lösen.
>
> Für die steilste Stelle berechnet man dann, wo die
> Ableitung am größten ist, auch kein echtes Problem.
Wie genau meinst du das. Kannst du bitte zeigen. Danke.
> Was ist mit "steilste Stelle des Durchhanges" gemeint?
Das Seil hat ja irgendwo in der mitte (zwischen Punkt P und Punkt Q) einen Durchhang. Und dieser soll bestimmt werden.
Danke im voraus
Gruß
Laythuddin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Laythuddin |
Hi
Hab noch vergessen etwas hinzuschreiben:
Über dem Seil(Parabel) ist eine gerade von Punkt P bis Punkt Q gezogen. Und die Stelle mit dem steilsten Durchhang ist die Stelle wo dieDifferenz zwischen arabel und Gerade am größten ist.
Wäre euch für eure Hilfe sher dankbar
Gruß
Laythuddin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es scheint, du hast mehr Informationen als wir. Hast du mit deinen Worten eine Zeichnung beschrieben, dann haben wir deine Beschreibung misverstanden, bzw. sie reicht nicht aus.
Am besten ist, du sagst uns, wie die Aufgabe wirklich gestellt war!
Den tiefsten Punkt findest durch umformen in die Scheitelform, oder durch differenzieren .Die steilste Stelle ist die, die am weitesten vom Scheitel entfernt ist, weil die Steigung jeder parabel vom Scheitel aus immer größer wird.
Gruss leduart
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