Anwendungsaufgabe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Eine Parabel vom Grad 2 geht durch die Punkte O(0/0)und A (4/0) und hat den Scheitel S (2/4). Bestimmen Sie eine Gleichung der Parabel.
b) Dem Parabelbogen soll im Intervall [0;4] ein Rechteck mit maximalem Fläächeninhalt einbeschrieben werden, wobei die Rechtecktseiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Bestimmen Sie die Eckpunkte des Rechtecks. Wieviel Prozent des Inhalts des Parabelbogens hat das Rechteck? |
Für die Gleichung für die Bestimmung der Maximalstelle des Rechtecks habe ich folgendes raus: A(x)= [mm] (4-2x)(-x^{2}+4x), [/mm] was unser Lehrer auch schon überprüft hat.
Als nächtes wollte ich die Maximalstelle der Funktion A bestimmen. Dafür habe ich folgendes raus:
[mm] A'(x)=-24x+6x^{2}+16 [/mm] und A''(x)=12x-24
Nach dem Einsetzen habe ich aber für die Maximalstelle x=0,9 rausbekommen. Demnach müsste doch am Punkt P(0,9/6,138) ein Eckpunkt des Rechtecks liegen, das den größten Flächeninhalt hat. Das ist aber aufgrund der Angaben über Scheitelpunkt etc. unlogisch. Jetzt weiß ich nicht mehr weiter und ich weiß auch nicht, wie ich auf alle Eckpunke kommen soll.
Würde mich sehr über jede Hilfe freuen!
Vielen Dank schon mal, Laura
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
(hier stand quatsch)
zu a)
die Funktion lautet $ [mm] A(x)=-x^2+4x [/mm] $
$ A'(x)=-2x+4 $
Extrema: $ f'(x)=0 $ setzen
$ -2x+4 =0$ wir erhalten $ x=2 $
$A''(x)=-2 $
$A''(2) < 0 $ also es gibt ein Maximum
nun müssen wir noch einsetzen:
$ [mm] A(2)=-2^2+8 [/mm] =4 $
[mm] $H_p(-2|4) [/mm] $
lg George
|
|
|
| |
|
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Ich glaube schon, dass A(x) richtig ist, weil wir das noch zusammen mit dem Lehrer gerechnet haben. Ich habe mir eine Skizze gemacht und demnach müssten die Eckpunke ungefähr auf (1/0), (1/2,5), (3/2,5) und (3/0) liegen. Das mit dem Hochpunkt H(0,84/9,43) oder H(0,84/6,14), was ich raus habe(also für den y-Wert 6,14), kann also gar nicht stimmen.
Wieso muss denn f'kleiner als 0 sein, muss f'' das nicht sein? Und das hat doch zugetroffen, weil A''(0,9)=-13,2 ist. Oder meinst du was anderes?
Nochmal grundlegend: wieso muss ich eigentlich das maximum von der Zielfunktion bestimmen bzw. was kriege ich dann eigentlich raus? Ich suche doch eine Fläche und keinen einzelnen Punkt oder? Oder kriegt man immer einen Eckpunkt raus von der maximalen Fläche?
Hm, weiß jetzt nicht, wie ich weiter macahen soll, weil A(x) ja richtig sein muss...
Viele Grüße, Laura
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] A(x)=(4-2x)(-x^{2}+4x) [/mm] ist so korrekt
[mm] A(x)=-4x^{2}+16x+2x^{3}-8x^{2}
[/mm]
[mm] A(x)=2x^{3}-12x^{2}+16x
[/mm]
[mm] A'(x)=6x^{2}-24x+16
[/mm]
A''(x)=12x-24 auch korrekt
[mm] 0=6x^{2}-24x+16
[/mm]
[mm] x_1\approx [/mm] 0,84
[mm] x_2\approx [/mm] 3,16
somit hast du die Breite vom Rechteck [mm] \approx [/mm] 3,16-0,84
jetzt kannst du f(0,84)=f(3,16) berechnen, das ist die Länge vom Rechteck, damit sollte der Flächeninhalt vom Rechteck klar sein
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Steffi! Danke erstmal für die Graphik, die ist echt toll.
Ich verstehe leider immer noch nicht genau, wie man auf die Eckpunkte des Rechtecks kommt. Vielleicht könntest du (oder auch irgend jemand anderes) nochmal schritt für schritt aufschreiben (also nur allgemein gefasst)wie ich vorgehen muss, dann kann ich das eigentliche Rechnen alleine machen. Ich fang einfach mal an:
1) Flächeninhalt des Rechtecks allgemein bestimmen
2) Nebenbedingung bestimmen
3) In Zielfunktion einsetzen, sodass man hat
A(Rechteck)=...
4)1. Ableitung bilden und gleich 0 setzen
5)Die bei 4) rausgefundenen x in 2. ableitung einsetzen
und dann? Was kriege ich dann eigentlich bei 5) raus oder stimmt 5) schon nicht mehr?
Was bedeuten die x die ich bei 4) rausgefunden habe? Sind das die x-Werte für die 4 Eckpunkte?
Und wie kriege ich dann eigentlich die vier Eckpunkte raus?
Wieder so viele Fragen, tschuldigung...
Viele Grüße, Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 16.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommt man auf die Eckpunkte: Schau das schöne Bild von Steffie an. du hast die parabel, und willst ein Rechteck reinzeichnen, eine Seite auf der x- Achse. also suchst du dir irgendeinen Punkt auf der x-Achse aus, x1 dann gehst du senkrecht nach oben und triffst die Parabel bei f(x1) dann gehst du nach rechts, bis du wieder auf die Parabel triffst. Weil jetzt die Parabel symetrisch zu ihrem scheitel bei x=2 ist, kommst du dabei soweit rechts von 2 an, wie du links von 2 los bist. also du hast bei x1 angefangen, Entfernung zu 2 ist 2-x1, das jetzt zu 2 dazu ergibt 2+(2-x1)=4-x1 dein Rechteck ist also 2*(2-x1)breit, und f(x1) hoch.
also ist die Fläche A=f(x1)*2*(2-x1) wenn x1 ganz nahe an 0 ist, wird es ziemlich breit, aber wenig hoch. Wenn es ganz nahe an der Mitte ist wird das Rechteck ziemlich schmal, aber dafür hoch.
Irgendwo dazwischen ist der Flächeninhalt A am größten. das x1 suchen wir:
für welches x1 ist A am größten? Und da weisst du, wenn man ne Funktion hat, ist die am größten, wenn die Ableitung 0 und die 2. Abl. negativ ist.
jetzt schreibt man, weil x1 ja jeder Wert zwischen 0 und 4 sein darf statt x1 eingfach x und hat [mm] A(x)=(-x^2+4x)*2*(2-x)
[/mm]
Davon such ich das x, wo A am grösten ist. wenn ich das x habe kenn ich die linke untere Ecke ,das ist das kleinere x, 4-x ist die rechte untere Ecke, die linke obere Ecke ist dann bei (x,f(x))
In 5) musst du nur sicherheitshalber einsetzen, ob du auch wirklich ein Maximum gefunden hast, könnte ja sein du hast das kleinste Rechteck gefunden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke an alle, die mir geholfen haben! Habe jetzt geschafft, es zu lösen.
Mfg, Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 15.04.2008 | | Autor: | crashby |
hey,
du hast recht ich hatte am anfang was falsches aufgeschrieben aber bei a) habe ich das raus. Und ja ich hätte natürlich genauer gucken sollen,denn hier ist was ganz anderes gefragt ;)
aber Aufgabe a) sollte so stimmen jedenfalls habe ich diese gleichung mit die vorgebenen Werten raus bekommen.
lg george
|
|
|
|
