Anzahl Elemente in Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 04.01.2011 | | Autor: | hula |
Hallo Matheraumianer
Folgende Frage beschäftigt mich und ich kann sie nicht zufriedenstellend beantworten. Es geht um endliche Körper und deren Klassifkationssatz resp. die Folgen daraus.
Ganz allgemein: Sei $\ p $ eine Primzahl, und $\ [mm] \IF_q [/mm] $ der endliche Körper mit $\ q = [mm] p^n [/mm] $ Elementen. Dieser ist der Zerfällungskörper des Polynoms $\ [mm] f=X^{q}-X \in \IF_p[X] [/mm] $ über $\ [mm] \IF_p$. [/mm] Dann hat $\ f $ schon einmal $\ p $ Nullstellen, nämlich die Elemente aus $\ [mm] \IF_p [/mm] $. Die restlichen liegen alle im Körper $\ [mm] \IF_q [/mm] $ (Damit meine ich die $\ q-p $ Elemente, welche in $\ [mm] \IF_q \backslash \IF_p$ [/mm] liegen). Ich kann $\ f $ wie folgt schreiben:
$\ f = g*h $, wobei $\ h $ ein Produkt von Polynomen ist, welche die Nullstellen in $\ [mm] \IF_p [/mm] $ haben und $\ g $ ist ein Produkt von irreduziblen Polynom, insgesamt hat $\ g $ den Grad $\ q-p $.
Nun sei $\ a [mm] \in \IF_q [/mm] $ eine Nullstelle eines solchen irreduziblen Polynoms $\ t $. Wieso gilt die folgende Isomorphie:
$\ [mm] \IF_p[X]/(t) \cong \IF_p[a]$ [/mm] ? Dies gilt sicher, wenn $\ t $ das Minimalpolynom von $\ a $ ist. Wieso ist dies aber der Fall? Resp. wie kann man das zeigen?
Nun zu meiner Hauptfrage:
$\ [mm] \IF_p[a]$, [/mm] wie viele Elemente hat dieser Körper? Mir ist durchaus bewusst, dass er genau $\ q $ Elemente haben muss. Aber dies will ich ja zeigen. Sobald ich dies habe, weiss ich, dass er isomorph zu $\ [mm] \IF_q [/mm] $ ist. Ich danke euch für die Aufklärung!
Gruss
hula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin hula!
> Folgende Frage beschäftigt mich und ich kann sie nicht
> zufriedenstellend beantworten. Es geht um endliche Körper
> und deren Klassifkationssatz resp. die Folgen daraus.
>
> Ganz allgemein: Sei [mm]\ p[/mm] eine Primzahl, und [mm]\ \IF_q[/mm] der
> endliche Körper mit [mm]\ q = p^n[/mm] Elementen. Dieser ist der
> Zerfällungskörper des Polynoms [mm]\ f=X^{q}-X \in \IF_p[X][/mm]
> über [mm]\ \IF_p[/mm]. Dann hat [mm]\ f[/mm] schon einmal [mm]\ p[/mm] Nullstellen,
> nämlich die Elemente aus [mm]\ \IF_p [/mm]. Die restlichen liegen
> alle im Körper [mm]\ \IF_q[/mm] (Damit meine ich die [mm]\ q-p[/mm]
> Elemente, welche in [mm]\ \IF_q \backslash \IF_p[/mm] liegen). Ich
> kann [mm]\ f[/mm] wie folgt schreiben:
>
> [mm]\ f = g*h [/mm], wobei [mm]\ h[/mm] ein Produkt von Polynomen ist, welche
> die Nullstellen in [mm]\ \IF_p[/mm] haben
Und zwar ist $h = [mm] X^p [/mm] - X$.
> und [mm]\ g[/mm] ist ein Produkt
> von irreduziblen Polynom, insgesamt hat [mm]\ g[/mm] den Grad [mm]\ q-p [/mm].
Und $g = [mm] \frac{X^{q - 1} - 1}{X^{p - 1} - 1} [/mm] = [mm] X^{\frac{q - 1}{p - 1}} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ (geometrische Reihe).
> Nun sei [mm]\ a \in \IF_q[/mm] eine Nullstelle eines solchen
> irreduziblen Polynoms [mm]\ t [/mm]. Wieso gilt die folgende
> Isomorphie:
>
> [mm]\ \IF_p[X]/(t) \cong \IF_p[a][/mm] ? Dies gilt sicher, wenn [mm]\ t[/mm]
> das Minimalpolynom von [mm]\ a[/mm] ist. Wieso ist dies aber der
> Fall? Resp. wie kann man das zeigen?
Na, $a$ ist eine Nullstelle von $t$ und $t$ ist irreduzibel. Wenn also [mm] $t_2$ [/mm] das Minimalpolynom von $a$ ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] ist, dann muss [mm] $t_2$ [/mm] ein Teiler von $t$ sein. Da $t$ irreduzibel ist, folgt [mm] $t_2 \in \IF_p^\ast$ [/mm] oder [mm] $\deg t_2 [/mm] = [mm] \deg [/mm] t$. Da [mm] $t_2 \in \IF_p^\ast$ [/mm] nicht sein kann, muss $t$ bis auf konstante Vielfache gleich [mm] $t_2$ [/mm] sein. Wenn also beide normiert sind (was man annehmen kann), ist $t = [mm] t_2$ [/mm] das Minimalpolynom von $a$ ueber [mm] $\IF_p$.
[/mm]
> Nun zu meiner Hauptfrage:
>
> [mm]\ \IF_p[a][/mm], wie viele Elemente hat dieser Körper?
Wegen der obigen Isomorphie genau [mm] $p^{\deg t}$ [/mm] Elemente.
> Mir ist
> durchaus bewusst, dass er genau [mm]\ q[/mm] Elemente haben muss.
Nein, eben nicht. Nur wenn $n$ prim ist. Wenn $n$ nicht prim ist, gibt es Zwischenkoerper zwischen [mm] $\IF_p$ [/mm] und [mm] $\IF_q$ [/mm] (die isomorph zu [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] sind, mit $k [mm] \mid [/mm] n$), und [mm] $\IF_p[a]$ [/mm] kann auch zu einem dieser isomorph sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Di 04.01.2011 | | Autor: | hula |
Hallo felix!
Danke für deine Ausführungen, die helfen mir schon sehr viel weiter!
>
> Und zwar ist [mm]h = X^p - X[/mm].
>
ja, würde ich auch sagen:)
> Und [mm]g = \frac{X^{q - 1} - 1}{X^{p - 1} - 1} = X^{\frac{q - 1}{p - 1}} + \dots + 1[/mm]
> (geometrische Reihe).
Mit dem Bruch bin ich einverstanden, die Gleichheit muss ich mir noch überlegen. Aber das krieg ich schon hin.
> Na, [mm]a[/mm] ist eine Nullstelle von [mm]t[/mm] und [mm]t[/mm] ist irreduzibel. Wenn
> also [mm]t_2[/mm] das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] ist, dann
> muss [mm]t_2[/mm] ein Teiler von [mm]t[/mm] sein. Da [mm]t[/mm] irreduzibel ist, folgt
> [mm]t_2 \in \IF_p^\ast[/mm] oder [mm]\deg t_2 = \deg t[/mm]. Da [mm]t_2 \in \IF_p^\ast[/mm]
> nicht sein kann, muss [mm]t[/mm] bis auf konstante Vielfache gleich
> [mm]t_2[/mm] sein. Wenn also beide normiert sind (was man annehmen
> kann), ist [mm]t = t_2[/mm] das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm].
>
Ja, das wäre nicht so schwer gewesen. Trotzdem Danke!
> >
> > [mm]\ \IF_p[a][/mm], wie viele Elemente hat dieser Körper?
>
> Wegen der obigen Isomorphie genau [mm]p^{\deg t}[/mm] Elemente.
>
Moment! Diesen Teil verstehe ich nicht mehr. Isomorphie ist klar, aber ich sehe nicht ein wieso $\ [mm] \IF_p[X]/(t) [/mm] $ genau [mm] p^{\deg t} [/mm] Elemente hat. Mir ist durchaus bewusst, wie die Elemente in $\ [mm] \IF_p[X]/(t) [/mm] $ aussehen. Ich wäre dankbar für weiterführende Erklärungen.
> Nein, eben nicht. Nur wenn [mm]n[/mm] prim ist. Wenn [mm]n[/mm] nicht prim
> ist, gibt es Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]\IF_q[/mm] (die
> isomorph zu [mm]\IF_{p^k}[/mm] sind, mit [mm]k \mid n[/mm]), und [mm]\IF_p[a][/mm]
> kann auch zu einem dieser isomorph sein.
>
Hmm...: Die Aussage resp. Klassifikation über Erweiterungen zwischen endlichen Körper verstehe ich nicht. Ich sehe ein, dass dies nur gilt, wenn $\ n $ prim ist. Ich weiss folgendes:
$\ [mm] \IF_q \subset \IF_q' [/mm] $ wobei $\ [mm] q=p^n,q'=p^n' [/mm] $ genau dann, wenn $\ n | n' $.
Nun zum Teil, der unklar ist: Angeblich sind dies ja die einzigen Erweiterungen zwischen endlichen Körpern (bis auf Isomorphie). Wieso? (ich kenne den Beweis, verstehe ihn aber nicht ganz):
Man betrachtet ja dann immer so was:
Annahme: Man habe eine Erweiterung $\ [mm] \IF \subset \IF' [/mm] $ (beide charakteristik p natürlich). Dann betrachte ich die Fortsetzung $\ [mm] \tau [/mm] $ von $\ [mm] i_{\IF_p} [/mm] $, welche $\ [mm] \IF_p [/mm] $ in einem algebraischen Abschluss $\ [mm] \overline{\IF_p} [/mm] $ von $\ [mm] \IF_p [/mm] $ einbettet. Naja, dann krieg ich also zuerst eine Fortsetzung $\ [mm] \tau [/mm] $ von $\ [mm] \IF [/mm] $ nach $\ [mm] \overline{\IF_p} [/mm] $. Diese kann ich dann wieder fortsetzen und erhalte also ein $\ [mm] \tau [/mm] ' : [mm] \IF' \to \overline{\IF_p} [/mm] $.
Und wieso soll jetzt dies daraus folgen?
Danke und Gruss
hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > [mm]\ \IF_p[a][/mm], wie viele Elemente hat dieser Körper?
> >
> > Wegen der obigen Isomorphie genau [mm]p^{\deg t}[/mm] Elemente.
>
> Moment! Diesen Teil verstehe ich nicht mehr. Isomorphie ist
> klar, aber ich sehe nicht ein wieso [mm]\ \IF_p[X]/(t)[/mm] genau
> [mm]p^{\deg t}[/mm] Elemente hat. Mir ist durchaus bewusst, wie die
> Elemente in [mm]\ \IF_p[X]/(t)[/mm] aussehen. Ich wäre dankbar für
> weiterführende Erklärungen.
Also du kannst ja jede Restklasse in [mm] $\IF_p[X]/(t)$ [/mm] eindeutig durch genau ein Polynom $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] von Grad [mm] $\deg [/mm] f < [mm] \deg [/mm] t$ repraesentieren. Also gibt es eine Bijektion zwischen [mm] $\IF_p[X]/(t)$ [/mm] und [mm] $\{ f \in \IF_p[X] \mid \deg f < \deg t \}$.
[/mm]
Die hintere Menge ist ein [mm] $\IF_p$-Vektorraum [/mm] mit Basis [mm] $X^0, \dots, X^{\deg t - 1}$, [/mm] hat also Dimension [mm] $\deg [/mm] t$. Damit ist es (als [mm] $\IF_p$-Vektorraum) [/mm] isomorph zu [mm] $\IF_p^{\deg t}$, [/mm] und das hat [mm] $p^{\deg t}$ [/mm] Elemente.
> > Nein, eben nicht. Nur wenn [mm]n[/mm] prim ist. Wenn [mm]n[/mm] nicht prim
> > ist, gibt es Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]\IF_q[/mm] (die
> > isomorph zu [mm]\IF_{p^k}[/mm] sind, mit [mm]k \mid n[/mm]), und [mm]\IF_p[a][/mm]
> > kann auch zu einem dieser isomorph sein.
> >
> Hmm...: Die Aussage resp. Klassifikation über
> Erweiterungen zwischen endlichen Körper verstehe ich
> nicht. Ich sehe ein, dass dies nur gilt, wenn [mm]\ n[/mm] prim ist.
> Ich weiss folgendes:
> [mm]\ \IF_q \subset \IF_q'[/mm] wobei [mm]\ q=p^n,q'=p^n'[/mm] genau dann,
> wenn [mm]\ n | n' [/mm].
Ja, wobei das [mm] "$\subset$" [/mm] richtig interpretiert werden muss: [mm] $\IF_q$ [/mm] ist dann isomorph zu einem Teilkoerper von [mm] $\IF_{q'}$; [/mm] Gleichheit von Mengen muss je nach Konstruktion von [mm] $\IF_q$ [/mm] und [mm] $\IF_{q'}$ [/mm] nicht gelten...
> Nun zum Teil, der unklar ist: Angeblich sind dies ja die
> einzigen Erweiterungen zwischen endlichen Körpern (bis auf
> Isomorphie).
Genau!
> Wieso? (ich kenne den Beweis, verstehe ihn
> aber nicht ganz):
>
> Man betrachtet ja dann immer so was:
>
> Annahme: Man habe eine Erweiterung [mm]\ \IF \subset \IF'[/mm]
Es soll eine endliche Erweiterung sein, oder?
> (beide charakteristik p natürlich). Dann betrachte ich die
> Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ i_{\IF_p} [/mm], welche [mm]\ \IF_p[/mm] in
> einem algebraischen Abschluss [mm]\ \overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\ \IF_p[/mm]
> einbettet. Naja, dann krieg ich also zuerst eine
> Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ \IF[/mm] nach [mm]\ \overline{\IF_p} [/mm].
> Diese kann ich dann wieder fortsetzen und erhalte also ein
> [mm]\ \tau ' : \IF' \to \overline{\IF_p} [/mm].
> Und wieso soll jetzt dies daraus folgen?
Was genau soll denn folgen? Also was ist genau die Aussage, die hier bewiesen werden soll?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 04.01.2011 | | Autor: | hula |
> >
> > Annahme: Man habe eine Erweiterung [mm]\ \IF \subset \IF'[/mm]
>
> Es soll eine endliche Erweiterung sein, oder?
>
Nein (ich halte mich hier an Bosch). Dort steht dies ist einfach eine Erweiterung zwischen endlichen Körpern. Die Erweiterung ist aber sowieso endlich, oder sehe ich das flasch? Sie enthalten ja beide den Primkörper $\ [mm] \IF_p [/mm] $, daher sind es endlichdimensionale Vektorräume über $\ [mm] \IF_p [/mm] $.
> > (beide charakteristik p natürlich). Dann betrachte ich die
> > Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ i_{\IF_p} [/mm], welche [mm]\ \IF_p[/mm] in
> > einem algebraischen Abschluss [mm]\ \overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\ \IF_p[/mm]
> > einbettet. Naja, dann krieg ich also zuerst eine
> > Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ \IF[/mm] nach [mm]\ \overline{\IF_p} [/mm].
> > Diese kann ich dann wieder fortsetzen und erhalte also ein
> > [mm]\ \tau ' : \IF' \to \overline{\IF_p} [/mm].
> > Und wieso soll jetzt dies daraus folgen?
>
> Was genau soll denn folgen? Also was ist genau die Aussage,
> die hier bewiesen werden soll?
Damit sollte bei uns gezeigt werden, dass dies die einzigen Erweiterungen zwischen endlichen Körpern sind (bis auf Isomorphie). Dies sehe ich nicht ein. Das mit dem Teiler kann ich beweisen, mir ist nur nicht klar, wieso dies bis auf Isomorphie die einzigen Erweiterungen zwischen endlichen Körpern sind.
Gruss
hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > (beide charakteristik p natürlich). Dann betrachte ich die
> > > Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ i_{\IF_p} [/mm], welche [mm]\ \IF_p[/mm] in
> > > einem algebraischen Abschluss [mm]\ \overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\ \IF_p[/mm]
> > > einbettet. Naja, dann krieg ich also zuerst eine
> > > Fortsetzung [mm]\ \tau[/mm] von [mm]\ \IF[/mm] nach [mm]\ \overline{\IF_p} [/mm].
> > > Diese kann ich dann wieder fortsetzen und erhalte also ein
> > > [mm]\ \tau ' : \IF' \to \overline{\IF_p} [/mm].
> > > Und wieso soll jetzt dies daraus folgen?
> >
> > Was genau soll denn folgen? Also was ist genau die Aussage,
> > die hier bewiesen werden soll?
> Damit sollte bei uns gezeigt werden, dass dies die
> einzigen Erweiterungen zwischen endlichen Körpern sind
> (bis auf Isomorphie). Dies sehe ich nicht ein. Das mit dem
> Teiler kann ich beweisen, mir ist nur nicht klar, wieso
> dies bis auf Isomorphie die einzigen Erweiterungen zwischen
> endlichen Körpern sind.
Du siehst also nicht ein, warum folgendes gilt: ist [mm] $\IF \subseteq \IF'$ [/mm] eine Erweiterung endlicher Koerper, so gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] (mit $n = [mm] [\IF' [/mm] : [mm] \IF]$) [/mm] so, dass [mm] $q^n [/mm] = q'$ ist, falls $q = [mm] |\IF|$ [/mm] und $q' = [mm] |\IF'|$ [/mm] ist. Verstehe ich das richtig?
Es ist doch [mm] $\IF \cong \IF_q$, $\IF' \cong \IF_{q'}$, [/mm] es reicht also zu zeigen: ist [mm] $\IF_q$ [/mm] isomorph zu einem Unterkoerper von [mm] $\IF_{q'}$, [/mm] so ist $q' = [mm] q^n$ [/mm] fuer ein $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
In dem Fall schau dir das Polynom [mm] $X^q [/mm] - X$ ueber [mm] $\IF_{q'}[X]$ [/mm] an. Die Nullstellen des Polynoms sind gerade die Elemente des zu [mm] $\IF_q$ [/mm] isomorphen Unterkoerpers. Da [mm] $X^q [/mm] - X$ keine mehrfachen Nullstellen hat, und alle Elemente von [mm] $\IF_{q'}$ [/mm] Nullstellen von [mm] $X^{q'} [/mm] - X$ sind, muss [mm] $X^q [/mm] - X$ ein Teiler von [mm] $X^{q'} [/mm] - X$ sein. Das ist dazu aequivalent, dass [mm] $X^{q-1} [/mm] - 1$ ein Teiler von [mm] $X^{q'-1} [/mm] - 1$ ist. Hier kann man jetzt zeigen, dass dies genau dann geht, wenn $q - 1$ ein Teiler von $q' - 1$ ist.
(Die eine Richtung bekommt man auch einfacher hin, wenn man weiss, dass [mm] $\IF_q^\ast$ [/mm] zyklisch der Ordnung $q - 1$ ist.)
Jetzt ist $q = [mm] p^a$ [/mm] und $q' = [mm] p^b$ [/mm] fuer $a, b [mm] \in \IN$. [/mm] Man kann nun zeigen, dass [mm] $ggT(p^a [/mm] - 1, [mm] p^b [/mm] - 1) = [mm] p^{ggT(a, b)} [/mm] - 1$ ist. Damit der ggT also [mm] $p^a [/mm] - 1$ ist, muss $a = ggT(a, b)$ sein, also $a [mm] \mid [/mm] b$.
Damit ist $q' = [mm] q^{b/a}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 04.01.2011 | | Autor: | hula |
Super! Genau das war meine Frage. Ich danke dir für deine Erklärungen!
Gruss
hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Super! Genau das war meine Frage. Ich danke dir für deine
> Erklärungen!
bitte :)
LG Felix
|
|
|
|
