Anzahl Nullstellen bestimmen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 29.06.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=3z^4 [/mm] - cos(z), [mm] B_1(0) [/mm] |
Hallo.
Ich muss die Anzahl der Nullstellen der obigen Funktion f in der Menge [mm] B_1(0) [/mm] bestimmen (offene Einheitskugel).
Bei meinem Lösungsweg bin ich mir nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal drüberschauen könnte.
Beh: f hat in [mm] B_1(0) [/mm] genau 4 Nullstellen.
Bew: Definiere g: z [mm] \mapsto 3z^4. [/mm] Für alle z [mm] \in \partial B_1(0) [/mm] gilt die Abschätzung (z=a+ib):
[mm] |f(z)-g(z)|=|cos(z)|=\frac{1}{2}|exp(iz)+exp(-iz)| \le \frac{1}{2} |exp(i(a+ib))|+\frac{1}{2} |exp(-i(a+ib))|=\frac{1}{2}|exp(ia)||exp(-b)|+\frac{1}{2} [/mm] |exp(-ia)||exp(b)| [mm] \le \frac{1}{2} |exp(ia)||exp(0)|+\frac{1}{2} |exp(-ia)||exp(1)|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} [/mm] e < 3 = |g(z)|.
Nach Satz von Rouche hat also g die gleiche Anzahl von Nullstellen wie f in [mm] B_1(0), [/mm] also genau 4 Stück.
Stimmt das so?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles Bestens !
Die Abschätzung $|cos(z)|<3$ für $|z|=1$ bekommt man etwas einfacher:
$|cos(z)| = [mm] |\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{z^{2n}}{(2n)!}| \le \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!} [/mm] < [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}=e<3$ [/mm] für $|z|=1$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Di 29.06.2010 | | Autor: | moerni |
Super. Vielen Dank für die rasche Antwort!
moerni
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