Anzahl Äquivalenzrelationen M < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 07.12.2014 | | Autor: | b4shyou |
| Aufgabe | | Wie viele Äquivalenzrelationen gibt es auf der Menge M = {1,2,3,4}? |
Guten Tag =)
Ich habe folgendes Problem:
Ich soll angeben, wie viele Äquivalenzrelationen auf der Menge M = {1,2,3,4} existieren.
Mein Ansatz wäre einfach, die Menge der Zerlegungen hinzuschreiben, nur da ist der Knackpunkt.
Ich bin mir nicht sicher, wie ich diese Menge nun genau zerlegen muss.
Ich würde mich über eine kurze Hilfe wirklich sehr freuen.
Viele Grüße
M
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Hallo,
Äquivalenzrelation bedeutet ja immer, dass zwei Elemente zueinander in Relation stehen. Da bei deiner Aufgabe keine Bedingung der Relation angegeben ist, denke ich, dass alle möglichen gemeint sind.
Jetzt musst du eigentlich nur noch alle möglichen Paare aus dieser Menge aufschreiben, wobei die Ordnung innerhalb des Paares auch wichtig ist, d.h. $(x,y)$ ist eine andere Relation als $(y,x)$.
Viele Grüße
Phifre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 07.12.2014 | | Autor: | b4shyou |
also {1,2,3,4},{{1},2,3,4},{{1,2},3,4},{{1,2,3},4},{1,{2,3,4}},{1,2,{3,4}},{{1,3},{2,4}},{{1,4},{2,3}},{{1},{2},{3},{4}}
gibts da nicht auch so eine Regel wie bei der Potenzmenge mit [mm] 2^n [/mm] =)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Hallo,
nicht ganz, es können immer nur zwei Elemente in Relation stehen.
Und die Regel ist genau wie bei der Potenzmenge, weil es genau so viele Kombinationsmöglichkeiten gibt.
Deine Menge der Relationen könnte so anfangen:
$$Re = [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),..,(2,1),...\}$$
[/mm]
Viele Grüße
Phifre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 07.12.2014 | | Autor: | b4shyou |
ah okay dann wären es also [mm] 2^4 [/mm] Möglichkeiten, also [mm] 2^4 [/mm] Zerlegungen und somit auch [mm] 2^4 [/mm] mögliche Äquivalenzrelationen.
Können es wirklich nur immer 2 Zerlegungen sein, denn wir hatten ein Beispiel aus der Menge{1,2,3,4,5,6,7} bei ein Teil aus Zerlegung 3 Elemente enthielt {{1},{5},{2,3,7},{4,6}}
Viele Grüße =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Ja, du hast recht, in Relation können immer nur zwei Elemente zueinander stehen, aber in einer Äquivalenzklasse können durchaus mehrere Elemente sein. Wenn du allerdings alle möglichen Äquivalenzklassen aufschreiben willst, hast du recht viel zu tun.
Das müssen theoretisch 18 verschiedene sein.
Viele Grüße
Phifre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 07.12.2014 | | Autor: | b4shyou |
okay jetzt hab ich es verstanden =)
Und Zerlegungen sind dann immer Äquivalenzklassen oder?.
Ich muss sie nicht aufschreiben, sondern nur die Anzahl angeben.
Wie kommt man denn auf die 18?
[mm] 2^4+2? [/mm] (und wenn ja, wo kommt die dann die 2 her^^)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Ja, das kann gut sein, dass damit die Äquivalenzklassen gemeint sind.
Für die 18 möglichen hab ich keine konkrete Formel, sondern einfach alle Möglichkeiten durchgegangen:
1. Alle in einer Klasse; 1 Fall
2. Jedes in eigene Klasse; 1 Fall
3. Eins allein, die anderen zusammen; 4 Fälle
4. Zwei zusammen, zwei einzeln; 6 Fälle
5. Zwei zusammen, andere zwei auch zusammen; 6 Fälle
Ich hoffe ich bin da nicht durcheinander gekommen..
Viele Grüße
Phifre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 07.12.2014 | | Autor: | b4shyou |
okay vielen Dank =)
schönen Sonntag noch
LG
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