Anzahl der Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 16.07.2017 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | | Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm] f(z)=z^5+iz^3-4z+i [/mm] in {1<|z|<2}. |
Hallo Freunde der komplexen Zahlen,
mir fehlt die zündende Idee wie ich die obige Aufgabe sinnvoll behandeln kann und freue mich über Tipps und Lösungsansätze 
Der Fundamentalsatz sagt ja dass ich bei einem Polynom vom Grad 5 in [mm] \IC [/mm] fünf Nullstellen haben muss. Jetzt stellt sich also nur die Frage, wie ich feststellen kann, welche dieser 5 Nullstellen auch die Eigenschaft 1<|z|<2 erfüllen. Dafür bräuchte ich Eure hilfe. DANKE!
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Versuchs mal mit dem Satz von Rouché. (Wickipicki oder so)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 17.07.2017 | | Autor: | M.Rex |
Halllo
Hast du denn schon die fünf Nullstellen bestimmt? Wenn ja, musst du doch nur noch den Betrag dieser Nullstellen berechnen.
Marius
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> Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm]f(z)=z^5+iz^3-4z+i[/mm]
> in {1<|z|<2}.
Satz von Rouché anwenden.
Mach so:
Für |z|=1 bilde g(z)=-4z, [mm] h(z)=z^5+iz^3+i
[/mm]
Es ist |g(z)|=|-4z|=4|-z|=4 und [mm] |h(z)|\le |z|^5+|i|^3|z|^3+|i|=1+1+1=3, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.
Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=1. g hat dort nur eine Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).
Für |z|=2 bilde [mm] g(z)=z^5, h(z)=iz^3-4z+i
[/mm]
Es ist [mm] |g(z)|=|z|^5=32 [/mm] und [mm] |h(z)|\le |i|^3|z|^3+|-4z|+|i|=8+8+1=17, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.
Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=2. g hat dort eine 5-fach Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).
Mehr Nullstellen hat f nicht. 4 liegen im angegebenen Kreisring und eine im Innenkreis. Wie sie heißen, ist dabei uninteressant.
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