Anzahl isotroper Vektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper mit [mm]q[/mm] Elementen,[mm]char(K)\ne 2[/mm] und [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum der Dimension [mm]2m[/mm]. Sei [mm](\, ;\, ):V\times V\rightarrow K[/mm] eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf [mm]V[/mm]. Sei [mm]i(V)[/mm] die Anzahl der isotropen Vektoren [mm]v\in V[/mm], wobei auch [mm]v=0[/mm] mitgezählt wird, also
[mm]i(V)=\left| \{v\in V:(v,v)=0\}\right|[/mm]
Sei [mm]V=H\perp W[/mm] mit einer hyperbolischen Ebene [mm]H[/mm].
Man zeige:
[mm]i(V)=q^\(2m-1\) - q^\(2m-2\) + qi(W)[/mm] |
Hallo!
ich hab mir das mal für eine hyperbolische Ebene überlegt:
Sei [mm]A[/mm] die Strukturmatrix der Bilinearform, dann hat sie die Form [mm]A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & & \\
1 & 0 & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_W \\
\end{array}
\right)[/mm], wobei für jede hyperbolische Ebene ein [mm]\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)[/mm] Kästchen steht und [mm]A_W[/mm] für den anisotropen "Rest". Wenn ich jetzt eine hyperbolische Ebene für einen 2-dimensionalen Raum anschaue, dann bekomme ich für ein [mm]v\in V, v=(x,y)[/mm], das gilt: [mm](v,v)=2xy[/mm]. Da [mm]char(K)\ne 2[/mm] ist also [mm]x=0[/mm] oder [mm]y=0[/mm]. Damit hätte ich dann [mm]2q-1[/mm] Möglichkeiten mir einen anisotropen Vektor zu bauen, je einmal [mm]q[/mm] für [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm], sowie [mm]-1[/mm] um den Nullvektor nicht doppelt zu zählen. Nach der Formel müssten es aber [mm]q-1[/mm] Vektoren sein. Kann mir vll. jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank und liebe Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 10.11.2011 | | Autor: | hippias |
Deine Ueberlegung ist voellig korrekt, bis auf eines: In Deinem Beispiel ist $W= 0$, und da $0$ mitgezaehlt werden soll, gilt $i(W)= 1$. Folglich liefert die Formel [mm] $q^{2\cdot1-1}-q^{2\cdot1-2}+ [/mm] qi(W)= 2q-1$.
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Ahhh, vielen Dank!
Jetzt hänge ich leider schon wieder fest. Ich versuche die Formel per Induktion über die Dimension zu beweisen.
Der Induktionsanfang wäre ja schon gemacht. Angenommen die Formel gilt für [mm]dim(V)=2m-2[/mm]. Wenn ich den Schritt auf die Dimension [mm]2m[/mm] mache, dann "behalte" ich doch meine alte Matrix für den neuen Raum [mm]W'[/mm] und bekomme noch ein [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm] Kästchen dazu.
Sei [mm]v\in V[/mm], so dass [mm]0=(v,v)=2x_1y_1+2x_2y_2+...[/mm]. Falls schon [mm]0=(v',v')=2x_2y_2+...[/mm] war, dann gibt es wie im Induktionsanfang [mm](2q-1)[/mm] Kombinationsmöglichkeite, so dass auch [mm]2x_1y_1=0[/mm] ist und die "alten" isotropen Vektoren wieder isotrop sind. Macht also schon einmal [mm](2q-1)(q^2^m^-^3 - q^2^m^-^4 + qi(W))[/mm] isotrope Vektoren.
Jetzt kann man ja zusätzich noch Belegungen finden, so dass [mm]-2x_1y_1=2x_2y_2+...[/mm]. Das sind genau [mm](q-1)^2[/mm] Stück (je Variable alle Skalare aus K ohne die Null) und damit nochmal [mm](q-1)^2 (q^2^m^-^2 - (q^2^m^-^3 - q^2^m^-^4 + qi(W)))[/mm] isotrope Vektoren, da ich ja für [mm]dim(V)=2m-2[/mm] genau [mm]q^2^m^-^2 - i(V)[/mm] anisotrope Vektoren hatte. Wenn man das addiert und ausmultipliziert kommt man auf alles, nur nicht auf die Formel. Kann mir bitte jemand den Fehler erklären?
Vielen Dank und Liebe Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Fr 11.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Ahhh, vielen Dank!
> Jetzt hänge ich leider schon wieder fest. Ich versuche die
> Formel per Induktion über die Dimension zu beweisen.
>
Induktion ist gar nicht notwendig (s.u.)
> Der Induktionsanfang wäre ja schon gemacht. Angenommen die
> Formel gilt für [mm]dim(V)=2m-2[/mm]. Wenn ich den Schritt auf die
> Dimension [mm]2m[/mm] mache, dann "behalte" ich doch meine alte
> Matrix für den neuen Raum [mm]W'[/mm] und bekomme noch ein
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm] Kästchen dazu.
>
> Sei [mm]v\in V[/mm], so dass [mm]0=(v,v)=2x_1y_1+2x_2y_2+...[/mm]. Falls
> schon [mm]0=(v',v')=2x_2y_2+...[/mm] war, dann gibt es wie im
> Induktionsanfang [mm](2q-1)[/mm] Kombinationsmöglichkeite, so dass
> auch [mm]2x_1y_1=0[/mm] ist und die "alten" isotropen Vektoren
> wieder isotrop sind. Macht also schon einmal
> [mm](2q-1)(q^2^m^-^3 - q^2^m^-^4 + qi(W))[/mm] isotrope Vektoren.
>
Es ist $V= [mm] H\perp [/mm] W$, also sind es $(2q-1)i(W)$; wieviele isotrope Vektoren in $W$ sind, lassen wir ersteinmal offen.
> Jetzt kann man ja zusätzich noch Belegungen finden, so
> dass [mm]-2x_1y_1=2x_2y_2+...[/mm]. Das sind genau [mm](q-1)^2[/mm] Stück
Hier ist der Fehler: ist [mm] $w\in [/mm] W$ mit [mm] $(w,w)\neq [/mm] 0$, so gibt es nur $q-1$ Paare [mm] $(x,y)\in K^{2}$ [/mm] mit $xy= -(w,w)$, denn einen Skalar kann man beliebig waehlen, der andere ist dann eindeutig festgelegt. Jedenfalls erhaelt man auf diese Weise weitere [mm] $(q-1)(q^{2m-2}-i(W))$ [/mm] isotrpoe Vektoren: Zusammenzaehlen, zusammenfassen, Wochenende!
> (je Variable alle Skalare aus K ohne die Null) und damit
> nochmal [mm](q-1)^2 (q^2^m^-^2 - (q^2^m^-^3 - q^2^m^-^4 + qi(W)))[/mm]
> isotrope Vektoren, da ich ja für [mm]dim(V)=2m-2[/mm] genau
> [mm]q^2^m^-^2 - i(V)[/mm] anisotrope Vektoren hatte. Wenn man das
> addiert und ausmultipliziert kommt man auf alles, nur nicht
> auf die Formel. Kann mir bitte jemand den Fehler
> erklären?
>
> Vielen Dank und Liebe Grüße
> couldbeworse
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Klasse, vielen lieben Dank - you made my day!
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