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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 15.02.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | (a) Wie viele [mm] $n\times [/mm] n $ - Matrizen mit Einträgen $Q:= [mm] \{1,2,\ldots, q-1\}$ [/mm] gibt es?
(b) Sei [mm] $q\in \mathbb{P} [/mm] .$ Wie viele reguläre Matrizen gibt es über Q? (Mit anderen Worten: Wie viele Matrizen aus (a) haben eine Determinante, welche nicht durch $q$ teilbar ist? |
Zu (a).
Dies ist recht einfach:
Für jede einzelne Eintragung gibt es genau $|Q|$ Möglichkeiten. Da es [mm] $n^2$ [/mm] Eintragungen in den besagten Matrizen gibt, gibt es insgesamt [mm] $q^{n^2}$ [/mm] Matrizen mit Eintragungen aus $Q$.
Zu (b).
Ahm, ich betrachte der Anschauung/Einfachheit halber einmal [mm] $2\times [/mm] 2 $ Matrizen. Ich versuche die Frage indirekt zu beantworten und zwar: Seien $a,b,c,d [mm] \in \Q$ [/mm] die Eintragungen der Matrix. Wie viele singuläre Matrizen gibt es? Wann ist also ad = bc ? Die Differenz zu meiner vorigen Überlegung liefert dann natürlich die Antwort.
Die Frage ist nur, wie finde ich die Anzahl der Lösungen der Gleichung heraus? Ich muss sie ja in Q lösen... habe leider keine Idee und bitte euch um einen kleinen Hinweis. 
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Eine Matrix ist regulär <=> ihre Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) sind linear unabhängig.
Daher ist die äquivalente Fragestellung
Wie viel Möglichkeiten gibt es n linear unabhängig Vektoren über Q zu wählen.
Das ist der Ansatz.
gruß
wieschoo
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