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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Approximation Picard Lindelöf
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Approximation Picard Lindelöf: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:10 Fr 02.11.2007
Autor: steffenhst

Aufgabe
Bestimme die Lösung des AWP [mm] y^{(4)} [/mm] = y mit y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 0 und y'''(0) = 0 durch sukzessive Approximation.

Hallo an alle,

ich habe in einem ersten Schritt die DGL in ein System umgewandelt, also [mm] y_{1} [/mm] = y', [mm] y_{2} [/mm] = y'', [mm] y_{3} [/mm] = y''' und [mm] y_{4} [/mm] = [mm] y^{(4)}, [/mm] das ergibt:

[mm] y_{1}'= y_{2} [/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] y_{3} [/mm]
[mm] y_{3}' [/mm] = [mm] y_{4} [/mm]
[mm] y_{4}' [/mm] = [mm] y_{1}. [/mm]

Das ganze habe ich dann als Vektoren geschrieben, um die Approximation von PL anzuwenden (richtig?), und mit [mm] y_{0}(x) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] gestartet. Dann ergibt sich
[mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\vektor{f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ f_{4}} dt} [/mm]
= [mm] \vektor{x \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

weiter ergibt sich:

[mm] y_{2}(x) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 1 \\ 0 \\ 0.5x^2} [/mm]
[mm] y_{3}(x) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 1 \\ 1/6x^3 \\ 0.5x^2} [/mm]
[mm] y_{4}(x) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 1/24x^4+1 \\ 1/6x^3 \\ 0.5x^2} [/mm]
[mm] y_{5}(x) [/mm] = [mm] \vektor{1/120x^5+x \\ 1/24x^4+1 \\ 1/6x^3 \\ 0.5x^2} [/mm]
[mm] y_{6}(x) [/mm] = [mm] \vektor{1/120x^5+x \\ 1/24x^4+1 \\ 1/6x^3 \\ 1/720x^6 + 0.5x^2}. [/mm]

Könnt ihr mir das bestätigen?
Wie komme ich jetzt aber auf y(x) für das die DGL erfüllt ist?

Vielen Dank, Steffen

        
Bezug
Approximation Picard Lindelöf: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:33 Sa 03.11.2007
Autor: steffenhst

Hallo, habe die Lösung selbst gefunden: y(x) = 0.5(sinx+sinhx).
Grüße, Steffen

Bezug
        
Bezug
Approximation Picard Lindelöf: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 So 04.11.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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