Approximation durch ONB < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 15:44 Fr 21.11.2014 | | Autor: | der_emu |
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Hallo,
ich habe ein Paper mit einer Aussage, die ich gerne verwenden würde. Alledings ist die da einfach so im Fließtext und ich hätte gerne eine Quelle die ich zietieren kann (am liebsten englisch), in der folgendes als eigenständiges Resultat geführt wird:
Sei [mm]X[/mm] in [mm]L^2(\mu)[/mm], [mm]\{\psi_i\}_{i=1}^{\infty}[/mm] eine Orthonormalbasis. Dann gibt es ein [mm]M=M(\epsilon)[/mm],so dass [mm]\|\sum_{i=1}^{M}c_i\psi_i-X\|_{L^2}\leq\epsilon[/mm]. Dabei ist [mm]c_i=\int X\psi_id\mu[/mm].
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo,
> ich habe ein Paper mit einer Aussage, die ich gerne
> verwenden würde. Alledings ist die da einfach so im
> Fließtext und ich hätte gerne eine Quelle die ich
> zietieren kann (am liebsten englisch), in der folgendes als
> eigenständiges Resultat geführt wird:
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> Sei [mm]X[/mm] in [mm]L^2(\mu)[/mm], [mm]\{\psi_i\}_{i=1}^{\infty}[/mm] eine
> Orthonormalbasis. Dann gibt es ein [mm]M=M(\epsilon)[/mm],so dass
> [mm]\|\sum_{i=1}^{M}c_i\psi_i-X\|_{L^2}\leq\epsilon[/mm]. Dabei ist
> [mm]c_i=\int X\psi_id\mu[/mm].
ich würde mal in verschiedene Bücher über Funktionalanalysis,
Approximationstheorie oder Fourieranalysis und Wavelets nachgucken
(wenn ich die Zeit finde, hole ich das vielleicht nach und werde konkreter,
falls Du in nächster Zeit nicht fündig wirst).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 21.11.2014 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
> ich habe ein Paper mit einer Aussage, die ich gerne
> verwenden würde. Alledings ist die da einfach so im
> Fließtext und ich hätte gerne eine Quelle die ich
> zietieren kann (am liebsten englisch), in der folgendes als
> eigenständiges Resultat geführt wird:
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> Sei [mm]X[/mm] in [mm]L^2(\mu)[/mm], [mm]\{\psi_i\}_{i=1}^{\infty}[/mm] eine
> Orthonormalbasis. Dann gibt es ein [mm]M=M(\epsilon)[/mm],so dass
> [mm]\|\sum_{i=1}^{M}c_i\psi_i-X\|_{L^2}\leq\epsilon[/mm]. Dabei ist
> [mm]c_i=\int X\psi_id\mu[/mm].
>
> Vielen Dank!
Orthonormalbasis bedeutet:
[mm] X=\sum_{i=1}^{\infty}c_i\psi_i [/mm] im Sinne der [mm] L^2-Norm
[/mm]
Wir haben also $ [mm] \|\sum_{i=1}^{M}c_i\psi_i-X\|_{L^2}\to [/mm] 0$ für M [mm] \to \infty
[/mm]
Zitieren musst Du da nichts
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Sa 22.11.2014 | | Autor: | fred97 |
In jedem Buch zur Funktionalanalysis findest Du:
Ein Hilbertraum $(H, [mm] \langle\cdot, \cdot\rangle)$ [/mm] mit einer Orthonormalbasis $B$ hat die Eigenschaft, dass für jedes $v [mm] \in [/mm] H$ die Reihendarstellung
[mm] $v=\sum_{u \in B} \langle [/mm] u, v [mm] \rangle [/mm] u$
(Konvergenz im Sinne der Norm [mm] $||*||=\wurzel{\langle *, * \rangle }$)
[/mm]
gilt.
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