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Hallo, ich habe hier mit einer Aufgabe zu kämpfen. Vielleicht sieht sich das mal jemand an.
Für M [mm] \subset \IR^{d} [/mm] sei [mm] P^{n} [/mm] (M) die Menge aller Polynome p:M [mm] \to \IR [/mm] mit grad(p) [mm] \le [/mm] n.
a) Zeigen Sie, dass zu jeder stetigen Funktion auf [a,b] mir der Maximumsnorm eine Bestapproximation [mm] f_{P} \in P^{n}([a,b]) [/mm] mit
[mm] ||f-f_{P}||_{ \infty} \le ||f-p||_{ \infty} \forall f_{P} \in P^{n}([a,b])
[/mm]
b) Nun sei [mm] K\subset \IR^{d} [/mm] kompakt. Zeigen Sie, dass zu jedem f [mm] \inC(K,||°||_{ \infty}) [/mm] eine Bestapproximation [mm] f_{P}\in P^{n}(K)!
[/mm]
Die Aufgabe besagt doch irgendwie so etwas, wie der Satz von Stone - Weierstrass oder? Dann verstehe ich aber den Unterschied zwischen a) und b) gar nicht. Wäre schön, wenn da vielleicht Jemand einen Tipp oder gar eine Lösung parat hat. Danke
mathmetzsch
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Hallo!
Tatsächlich besagt ein Korollar aus dem Satz von Stone-Weierstraß, dass man stetige Funktionen auf Kompakta durch Polynome beliebig gut approximieren kann.
Allerdings ist das hier ja eigentllich nicht der Punkt, da es ja darum geht zu zeigen, dass ein Element bester Approximation existiert. Das heißt dann aber noch lange nicht, dass diese Elemente bester Approximation dann gegen die Funktion konvergieren!
Der Unterschied zwischen a) und b) liegt darin, dass [mm] $[a;b]\subset\IR$, [/mm] aber [mm] $K\subset\IR^d$! [/mm]
> [mm]||f-f_{P}||_{ \infty} \le ||f-p||_{ \infty} \forall f_{P} \in P^{n}([a,b])[/mm]
Hier hast du einen Tippfehler, oder? Müsste es nicht heißen
[mm] $]||f-f_{P}||_{ \infty} \le ||f-p||_{ \infty} \forall \, \in P^{n}([a,b])$?
[/mm]
Der Trick bei dieser Aufgabe dürfte wohl folgender sein: Du musst zeigen, dass die Funktion [mm] $P^n([a;b])\to\IR,\ p\mapsto\|f-p\|_\infty$ [/mm] ihr Minimum auch tatsächlich annimmt! Davon, dass dieses Element eindeutig sein soll, hat ja eigentlich keiner was gesagt...
Kommst du damit voran?
Gruß, banachella
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Also, um ehrlich zu sein, finde ich die Aufgabe recht merkwürdig. Den Satz von Weiserstrass haben wir schon in der Vorlesung bewiesen. Du sagst nun, dieser Satz meint etwas anderes. Kannst du dann vielleicht bitte den Beweis für a) führen und ich versuche es dann für b) alleine?
Danke.
Grüße mathmetzsch
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Hallo!
Ich würde es so machen:
Sei [mm] $M:=\{p\in P^n([a;b]):\ \|f-p\|_\infty\le \|f\|_\infty\}$. [/mm] Diese Menge ist nichtleer (weil die $0$-Funktion drin liegt). Außerdem ist $M$ kompakt, da es eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines endich-dimensionalen Vektorraumes ist.
Setze $A:\ [mm] M\to \IR,\ p\mapsto \|f-p\|_\infty$. [/mm] Diese Funktion ist stetig.
Weil jede stetige Funktion auf einem Kompaktum ihr Minimum annimmt, gibt es [mm] $f_P\in [/mm] M$ mit [mm] $\|f-f_P\|_\infty\le \|f-p\|_\infty\le\|f\|_\infty<\|f-q\|_\infty$ [/mm] für alle [mm] $p\in [/mm] M$ und [mm] $q\in P^n([a;b])\setminus [/mm] M$.
Allerdings sehe ich ehrlich gesagt keinen Grund, warum man diesen Beweis nicht gleich für b) macht. Schließlich geht ja nur ein, dass [mm] $P^n([a;b])$ [/mm] endlich-dimensional ist. Und das ist der Raum in $b)$ immer noch.
Hast du noch Fragen dazu?
Gruß, banachella
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Ja, super. Das klingt plausibel. Vielleicht zeige ich noch, dass der Raum kompakt ist. Für b gehe ich dann analog vor. Das dürfte ja nicht viel ändern oder eigentlich gebe ich dir da recht.
Grüße mathmetzsch
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Ach so, ich hätte vielleicht doch noch eine Frage. Warum ist denn die Funktion stetig? Ist da so offensichtlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mathmetzsch!
Die Stetigkeit von $A$ folgt so:
$|A(p)-A(q)| = | [mm] \Vert [/mm] f-p [mm] \Vert_{\infty} [/mm] - [mm] \Vert [/mm] f-q [mm] \Vert_{\infty}| \le \Vert [/mm] p-q [mm] \Vert_{\infty}$,
[/mm]
mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung.
Viele Grüße
Julius
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