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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Do 03.02.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Aufgabe:
Zeigen Sie durch Approximation mit Treppenfunktionen :
[mm] \integral_{0}^{x}{t^{p} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p+1} x^{p+1} [/mm] ,p Element [mm] \IN
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung [mm] t_{0} [/mm] = 0, [mm] t_{k} [/mm] = [mm] x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] , k = 1,...,n und zeigen Sie:
a) [mm] (t_{k} [/mm] - [mm] t_{k-1}) \to [/mm] 0 wenn n [mm] \to \infty [/mm] .
b) [mm] \summe_{k=1}^{n} t_{k}^{p}(t_{k}-t_{k-1}) \to \bruch{1}{p+1}x^{p+1} [/mm] wenn n [mm] \to \infty [/mm] |
Schönen Abend allerseits!
Ich hänge gerade an der oben beschriebenen Aufgabe.
a) Ist dabei noch relativ einfach.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] - [mm] x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)}) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] - [mm] x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k+1})
[/mm]
limes reingezogen :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-0)^{n-k} [/mm] - [mm] x(1-0)^{n-k+1}) [/mm] = x(1) - x(1) = 0
Ist gerad hier unschön von mir,aber mit dem "limes reinziehen" wollte ich es halt bildlich machen, was mit den einzelnen n's passiert. Hier sollte ja alles eindeutig sein?
Bei b) komme ich gerade (ich denke) kurz vorm Ziel nicht weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] - [mm] x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)})
[/mm]
Das x kann man aus der hinteren Klammer rausziehen und erhält:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] - [mm] (1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)}) x^{p+1} [/mm] ..
Damit hätte ich schonmal das [mm] x^{p+1} [/mm] , was in der Aufgabenstellung auder der rechten Seite rauskommen soll...
Wie weise ich nun nach,dass die Summe von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k} [/mm] - [mm] (1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)}) [/mm]
gegen [mm] \bruch{1}{1+p} [/mm] läuft? Oder Wenn ich hier doch [mm] n\to\infty [/mm] mache, dann da doch 0 raus? Wie bei a) bewiesen?
Hat doch bestimmt mit irgendeiner reihe zu tun? Bitte um Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Sa 05.02.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
> Aufgabe:
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> Zeigen Sie durch Approximation mit Treppenfunktionen :
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{t^{p} dt}[/mm] = [mm]\bruch{1}{p+1} x^{p+1}[/mm] ,p
> Element [mm]\IN[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung [mm]t_{0}[/mm] = 0, [mm]t_{k}[/mm] =
> [mm]x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm] , k = 1,...,n und zeigen
> Sie:
>
> a) [mm](t_{k}[/mm] - [mm]t_{k-1}) \to[/mm] 0 wenn n [mm]\to \infty[/mm] .
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{n} t_{k}^{p}(t_{k}-t_{k-1}) \to \bruch{1}{p+1}x^{p+1}[/mm]
> wenn n [mm]\to \infty[/mm]
> Schönen Abend allerseits!
>
> Ich hänge gerade an der oben beschriebenen Aufgabe.
>
> a) Ist dabei noch relativ einfach.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm]
> - [mm]x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm]
> - [mm]x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k+1})[/mm]
>
> limes reingezogen :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x(1-0)^{n-k}[/mm] - [mm]x(1-0)^{n-k+1})[/mm]
> = x(1) - x(1) = 0
>
> Ist gerad hier unschön von mir,aber mit dem "limes
> reinziehen" wollte ich es halt bildlich machen, was mit den
> einzelnen n's passiert. Hier sollte ja alles eindeutig
> sein?
Also wenn du argumentierst, warum du den Limes "reinziehen" darfst dann müsste das soweit durchlaufen, denke ich.
>
>
>
> Bei b) komme ich gerade (ich denke) kurz vorm Ziel nicht
> weiter:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} (x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm]
> - [mm]x(1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)})[/mm]
>
> Das x kann man aus der hinteren Klammer rausziehen und
> erhält:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm]
> - [mm](1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)}) x^{p+1}[/mm] ..
>
> Damit hätte ich schonmal das [mm]x^{p+1}[/mm] , was in der
> Aufgabenstellung auder der rechten Seite rauskommen
> soll...
>
> Wie weise ich nun nach,dass die Summe von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k})^{p} ((1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-k}[/mm]
> - [mm](1-\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n-(k-1)})[/mm]
>
> gegen [mm]\bruch{1}{1+p}[/mm] läuft? Oder Wenn ich hier doch
> [mm]n\to\infty[/mm] mache, dann da doch 0 raus? Wie bei a) bewiesen?
> Hat doch bestimmt mit irgendeiner reihe zu tun? Bitte um
> Hilfe.
Schau mal was passiert, wenn du den Faktor vor der Differenz in der Summe (verständlich???) in die Klammer ziehst und du die Summe auseinander ziehst. Dann fallen eine Menge Summanden weg und es bleibt eine reduzierte Gleichung übrig. Ich denke dann müsstest du weiter kommen.
Grüße!
skoopa
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