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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 22.05.2008 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Es sei [mm]f : [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm] mit [mm]f(x)=ln(1+sin(x))[/mm].
a) Beweisen Sie, dass der Approximationsfehler durch das 2. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt 0 kleiner als [mm] \bruch{1}{12} [/mm] ist.
b) Zeigen Sie, dass dieser Approximationsfehler sogar kleiner als [mm] \bruch{\wurzel{3}}{24} [/mm] ist.
Hinweis: Benutzen Sie, dass [mm] \bruch{1}{2}<\bruch{\pi}{6} [/mm] ist. Zu b) Zeigen Sie, dass $f'''$ monoton fallend ist! |
Hallo,
habe ein paar Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, also ich habe zunächst die ersten 3 Ableitungen berechnet:
[mm] $f'(x)=\bruch{cos(x)}{1+sin(x)}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=-\bruch{1}{sind(x)+1}$
[/mm]
[mm] $f'''(x)=\bruch{cos(x)}{(sin(x)+1)^2}$
[/mm]
Das Taylor-Polynom 2. Grades ist [mm] T_{2}^0=-\bruch{1}{2}x^2+x, [/mm] nun habe ich versucht das Restglied [mm] R_{3}^0 [/mm] mit der Lagrange-Form zu berechnen und nach oben abzuschätzen:
[mm] R_{3}^0(f)(x)=f^{(m+1)}(\beta)\bruch{(x-a)^{m+1}}{(m+1)!} =\bruch{cos(\beta)}{(sin(\beta)+1)^2}\bruch{x^3}{6} [/mm]
da [mm] |cos(\beta)|\le [/mm] 1 und [mm] cos(\beta)=1 \Rightarrow sin(\beta)=0 [/mm] ist das ganze nun [mm] \le \bruch{1}{(0+1)^2}\bruch{x^3}{6}=\bruch{x^3}{6} [/mm] Außerdem ist x aus dem Intervall [mm] [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}], [/mm] wenn ich nun [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für x einsetze bekomme ich [mm] \bruch{x^3}{6}\le \bruch{1}{24}
[/mm]
ich meine, das ist ja kleiner als [mm] \bruch{1}{12} [/mm] aber ich glaube, das ist nicht das was herauskommen sollte, zudem habe ich den Hinweis auch nicht genutzt (weil ich damit leider nichts anfangen kann).
Ich würde mich über eine Hilfestellung sehr freuen und bedanke mich schon mal im voraus.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Es sei [mm]f : [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm] mit
> [mm]f(x)=ln(1+sin(x))[/mm].
>
> a) Beweisen Sie, dass der Approximationsfehler durch das 2.
> Taylorpolynom im Entwicklungspunkt 0 kleiner als
> [mm]\bruch{1}{12}[/mm] ist.
>
> b) Zeigen Sie, dass dieser Approximationsfehler sogar
> kleiner als [mm]\bruch{\wurzel{3}}{24}[/mm] ist.
>
> Hinweis: Benutzen Sie, dass [mm]\bruch{1}{2}<\bruch{\pi}{6}[/mm]
> ist. Zu b) Zeigen Sie, dass [mm]f'''[/mm] monoton fallend ist!
> Hallo,
>
> habe ein paar Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, also ich
> habe zunächst die ersten 3 Ableitungen berechnet:
> [mm]f'(x)=\bruch{cos(x)}{1+sin(x)}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{sind(x)+1}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{cos(x)}{(sin(x)+1)^2}[/mm]
>
> Das Taylor-Polynom 2. Grades ist
> [mm]T_{2}^0=-\bruch{1}{2}x^2+x,[/mm] nun habe ich versucht das
> Restglied [mm]R_{3}^0[/mm] mit der Lagrange-Form zu berechnen und
> nach oben abzuschätzen:
>
> [mm]R_{3}^0(f)(x)=f^{(m+1)}(\beta)\bruch{(x-a)^{m+1}}{(m+1)!} =\bruch{cos(\beta)}{(sin(\beta)+1)^2}\bruch{x^3}{6}[/mm]
> da [mm]|cos(\beta)|\le[/mm] 1 und [mm]cos(\beta)=1 \Rightarrow sin(\beta)=0[/mm]
> ist das ganze nun [mm]\le \bruch{1}{(0+1)^2}\bruch{x^3}{6}=\bruch{x^3}{6}[/mm]
was du hier machst, sieht mir sehr dubios aus... wie kommst du auf diese abschaetzung? fuer negative [mm] \beta [/mm] wird [mm] \sin(\beta) [/mm] negativ, zb. [mm] $\sin(-\pi/6)=-1/2$....
[/mm]
rechne damit nochmal weiter, so solltest du auf aufgabe a) kommen.
fuer b) solltest du den tip beherzigen! wenn du zeigst, dass f''' monoton fallend ist, kannst du |f'''| durch f'''(-1/2) abschaetzen und bist damit schon fast am ziel.
gruss
matthias
> Außerdem ist x aus dem Intervall
> [mm][-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}],[/mm] wenn ich nun [mm]\bruch{1}{2}[/mm] für
> x einsetze bekomme ich [mm]\bruch{x^3}{6}\le \bruch{1}{24}[/mm]
PS: nein, denn [mm] $(1/2)^3=1/8$....
[/mm]
> ich
> meine, das ist ja kleiner als [mm]\bruch{1}{12}[/mm] aber ich
> glaube, das ist nicht das was herauskommen sollte, zudem
> habe ich den Hinweis auch nicht genutzt (weil ich damit
> leider nichts anfangen kann).
>
> Ich würde mich über eine Hilfestellung sehr freuen und
> bedanke mich schon mal im voraus.
> mfg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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