Approximieren durch Taylorform < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | f(x) = wurzel{1+x} soll durch Taylorformel vom Grad n = 3, an der Stelle x0=0 approximiert werden. Fehlerabschätzung soll mit Hilfe von R3(x) für 0<=x<=0.5 vorgenommen werden. |
Habe mal die Ableitungen gemacht und diese Null gesetzt:
f'(x) = 1 / 2 * wurzel(x+1) f'(0) = 1/2
f''(x) = -1 / 4 *(x+1)^(3/2) f''(0)= -1/4
f'''(x) = 3 / 8 * (x+1)^(5/2) f'''(0)= 3/8
Also ich hoffe, dass dies erst mal richtig ist.
Was bedeutet dies mit dem 3.Grad? Das man die 3 Ableitungen macht und dann schaut, ob man eine Formel aufstellen kann?
Was ist mit dieser Fehlerabschätzung gemeint? Bei der 2.Ableitung kommt ja was negatives raus (würde dann auch wieder bei der 4.Ableitung so sein - usw).
Danke für die Hilfe.
|
|
| |
|
Hallo sonja2001,
> f(x) = wurzel{1+x} soll durch Taylorformel vom Grad n = 3,
> an der Stelle x0=0 approximiert werden. Fehlerabschätzung
> soll mit Hilfe von R3(x) für 0<=x<=0.5 vorgenommen
> werden.
> Habe mal die Ableitungen gemacht und diese Null gesetzt:
>
> f'(x) = 1 / 2 * wurzel(x+1) f'(0) = 1/2
> f''(x) = -1 / 4 *(x+1)^(3/2) f''(0)= -1/4
> f'''(x) = 3 / 8 * (x+1)^(5/2) f'''(0)= 3/8
>
Die Werte der Ableitungen an der Stelle [mm]x_{0}=0[/mm] sind richtig,
jedoch stimmen die Ableitungen nich ganz:
[mm]f'\left(x\right)=\bruch{1}{2}*\left(1+x\right)^{\red{-}1/2}[/mm]
[mm]f''\left(x\right)=-\bruch{1}{4}*\left(1+x\right)^{\red{-}3/2}[/mm]
[mm]f'''\left(x\right)=\bruch{3}{8}*\left(1+x\right)^{\red{-}5/2}[/mm]
> Also ich hoffe, dass dies erst mal richtig ist.
>
> Was bedeutet dies mit dem 3.Grad? Das man die 3 Ableitungen
> macht und dann schaut, ob man eine Formel aufstellen kann?
Die Funktion f(x) soll hier durch ein Polynom vom
Grad 3 approximiert werden.
> Was ist mit dieser Fehlerabschätzung gemeint? Bei der
> 2.Ableitung kommt ja was negatives raus (würde dann auch
> wieder bei der 4.Ableitung so sein - usw).
Bei der Fehlerabschätzung nimmst Du den Betrag von [mm]R_{3} \left(x\right)[/mm].
>
> Danke für die Hilfe.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
hallo
danke für den hinweis mit den MINUS - is mir beim abtippen ganz entfallen....
ich verstehe aber immer noch nicht, was mit dem approximieren vom 3.grad gemeint ist. auch in den skriptunterlagen steht nichts dazu da....
|
|
|
| |
|
Hallo sonja2001,
> hallo
> danke für den hinweis mit den MINUS - is mir beim
> abtippen ganz entfallen....
>
> ich verstehe aber immer noch nicht, was mit dem
> approximieren vom 3.grad gemeint ist. auch in den
> skriptunterlagen steht nichts dazu da....
Ersetze die Funktion f(x) durch ein Polynom 3. Grades.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
aber was is denn das polynom 3.grades????
ich versteh diese bezeichnung nicht....
|
|
|
| |
|
> aber was is denn das polynom 3.grades????
> ich versteh diese bezeichnung nicht....
Ein Polynom ist eine ganzrationale Funktion.
Das Taylorpolynom 3. Grades (oder 3. Ordnung)
der Funktion f an der Entwicklungsstelle [mm] x_0 [/mm] ist
dasjenige Polynom T der Form
$\ [mm] T(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3$
[/mm]
welches an der Stelle [mm] x_0 [/mm] mit f im Funktionswert
und im Wert der ersten 3 Ableitungen übereinstimmt.
Es soll also gelten:
$\ [mm] T(x_0)=f(x_0)$
[/mm]
$\ [mm] T'(x_0)=f'(x_0)$
[/mm]
$\ [mm] T''(x_0)=f''(x_0)$
[/mm]
$\ [mm] T'''(x_0)=f'''(x_0)$
[/mm]
T liefert so für eine kleine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] die
"bestmögliche" polynomiale Annäherung 3.Grades an f.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Habe mal die Ableitungen gemacht und diese Null gesetzt:
f'(x) = 1 / 2 * wurzel(x+1) f'(0) = 1/2
f''(x) = -1 / 4 *(x+1)^(3/2) f''(0)= -1/4
f'''(x) = 3 / 8 * (x+1)^(5/2) f'''(0)= 3/8
> hallo
> danke für den hinweis mit den MINUS - is mir beim
> abtippen ganz entfallen....
Hallo Sonja,
ich vermute eher, dass du in den obigen Ausdrücken
noch Klammern "gemeint", aber diese dann nicht
hingeschrieben hast:
f'(x) = 1 / (2 * wurzel(x+1)) f'(0) = 1/2
f''(x) = -1 / (4 *(x+1)^(3/2)) f''(0)= -1/4
f'''(x) = 3 / (8 * (x+1)^(5/2)) f'''(0)= 3/8
Zudem hast du nicht die Ableitungen Null gesetzt,
sondern du hast ihre Werte für [mm] x_0=0 [/mm] berechnet.
> ich verstehe aber immer noch nicht, was mit dem
> approximieren vom 3.grad gemeint ist. auch in den
> skriptunterlagen steht nichts dazu da....
Das wäre sonderbar ... siehe meine andere Antwort.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
