Approximierende Folge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Di 07.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei [mm]f(x) := \begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{x}} , & \mbox{ für } 0 < x \le 1 \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]. Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] sei eine Zerlegung [mm]x_{n,0} = 0 < x_{n,1} < ... < x_{n,2^n} = 1[/mm] mit [mm]x_{n,j} := j^4 * 2^{-4n}[/mm] gegeben, und die Treppenfunktion [mm]h_n : \IR \to \IR[/mm] sei gegeben durch
[mm]h_n (x) := \begin{cases} f(x_{n,j}) , & \mbox{ auf } (x_{n,j-1},x_{n,j}] \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
Zeigen Sie, das die [mm] (h_n) [/mm] eine approximierende Folge für f bilden und dass deshalb f in [mm]\IL^+[/mm] liegt und [mm]I(f) = 2[/mm] ist. |
z.Z.: (i) [mm] (h_n) [/mm] ist monoton wachsend und (iii) konvergiert fast überall gegen f. (ii) Die Folge der Integrale [mm] I(h_n) [/mm] ist beschränkt. (iv) I(f) = 2.
(i) [mm] (h_n) [/mm] ist monoton wachsend: z.Z.: [mm]h_{n+1} \ge h_{n}[/mm]
[mm]h_{n+1}(x) = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4(n+1)}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n} * 2^{-4}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n}}} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{16}}} = h_n(x) * 4 > h_n(x)[/mm]
(ii) [mm]I(h) = \summe_{i=0}^{2^n} f(x_{n,i}) * ?[/mm], was setze ich hier für das Volumen ein? Wenn ich das habe, muss ich noch zeigen, dass die Summe einen reellen Wert annimmt, indem ich sie nach oben abschätze.
(iii) [mm] (h_n) [/mm] konvergiert fast überall gegen f.
Aus (ii) folgt (sobald ich es gezeigt habe), dass [mm] (h_n) [/mm] fast überall gegen eine reellwertige Funktion konvergiert. Bliebe für mich noch zu zeigen, dass diese reellwertige Funktion mit f übereinstimmt.
Nur wie stell ich das an? Entweder total trivial und ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder...?
(iv) Ergibt sich dann aus (ii), hoffe ich...
Kann mir hier jemand vielleicht etwas auf die Sprünge helfen? Ich hab noch so meine Probleme mit dem Thema, wie man leider merkt. :-(
Liebe Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:13 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]f(x) := \begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{x}} , & \mbox{ für } 0 < x \le 1 \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm].
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] sei eine Zerlegung [mm]x_{n,0} = 0 < x_{n,1} < ... < x_{n,2^n} = 1[/mm]
> mit [mm]x_{n,j} := j^4 * 2^{-4n}[/mm] gegeben, und die
> Treppenfunktion [mm]h_n : \IR \to \IR[/mm] sei gegeben durch
> [mm]h_n (x) := \begin{cases} f(x_{n,j}) , & \mbox{ auf } (x_{n,j-1},x_{n,j}] \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, das die [mm](h_n)[/mm] eine approximierende Folge für f
> bilden und dass deshalb f in [mm]\IL^+[/mm] liegt und [mm]I(f) = 2[/mm] ist.
>
> z.Z.: (i) [mm](h_n)[/mm] ist monoton wachsend und (iii) konvergiert
> fast überall gegen f. (ii) Die Folge der Integrale [mm]I(h_n)[/mm]
> ist beschränkt. (iv) I(f) = 2.
>
> (i) [mm](h_n)[/mm] ist monoton wachsend: z.Z.: [mm]h_{n+1} \ge h_{n}[/mm]
>
> [mm]h_{n+1}(x) = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4(n+1)}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n} * 2^{-4}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n}}} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{16}}} = h_n(x) * 4 > h_n(x)[/mm]
Die Preisfrage hier lautet: was ist $x$? Oder genauer, was ist die Beziehung zwischen $x$, $j$ und $n$? So wie sie da steht, glaub ich dir die (Un-)Gleichungskette naemlich nicht.
> (ii) [mm]I(h) = \summe_{i=0}^{2^n} f(x_{n,i}) * ?[/mm], was setze
> ich hier für das Volumen ein? Wenn ich das habe, muss ich
> noch zeigen, dass die Summe einen reellen Wert annimmt,
> indem ich sie nach oben abschätze.
Na, was ist denn wohl das Volumen des Intervalls [mm] $(x_{n,i-1}, x_{n,i}]$? [/mm] Volumen von Intervallen solltest du ausrechnen koennen.
Und [mm] $f(x_{n,i})$ [/mm] kannst du auch etwas genauer angeben.
> (iii) [mm](h_n)[/mm] konvergiert fast überall gegen f.
> Aus (ii) folgt (sobald ich es gezeigt habe), dass [mm](h_n)[/mm]
> fast überall gegen eine reellwertige Funktion konvergiert.
Wieso folgt das aus (ii)? Entweder zeigst du bei (ii) mehr als du oben schreibst, oder ich glaube dir das nicht.
> Bliebe für mich noch zu zeigen, dass diese reellwertige
> Funktion mit f übereinstimmt.
Nimm dir doch einfach ein $x$ fest und zeige [mm] $\lim_{n\to\infty} h_n(x) \to [/mm] f(x)$. Du musst dir ueberlegen, wie du [mm] $h_n(x)$ [/mm] fuer gross genuges $n$ etwas genauer beschreiben kannst.
> Nur wie stell ich das an? Entweder total trivial und ich
> seh den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder...?
Wenn $x < 0$ oder $x > 1$ ist, ist das doch eh klar, oder? Den Fall $x = 0$ kannst du weg lassen (es reicht ja die Konvergenz fuer fast alle $x$ zu zeigen). Also sei $0 < x [mm] \le [/mm] 1$. Zu festem $n$ kannst du jetzt ein $i$ finden mit $x [mm] \in (x_{n,i-1}, x_n]$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le 2^n$. [/mm] Was kannst du ueber dieses $i$ sagen? Was ueber [mm] $x_{n,i} [/mm] - x$, und was damit ueber $f(x) - [mm] h_n(x)$?
[/mm]
> (iv) Ergibt sich dann aus (ii), hoffe ich...
Je nachdem was du in (ii) genau zeigst.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo!
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> > Sei [mm]f(x) := \begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{x}} , & \mbox{ für } 0 < x \le 1 \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm].
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] sei eine Zerlegung [mm]x_{n,0} = 0 < x_{n,1} < ... < x_{n,2^n} = 1[/mm]
> > mit [mm]x_{n,j} := j^4 * 2^{-4n}[/mm] gegeben, und die
> > Treppenfunktion [mm]h_n : \IR \to \IR[/mm] sei gegeben durch
> > [mm]h_n (x) := \begin{cases} f(x_{n,j}) , & \mbox{ auf } (x_{n,j-1},x_{n,j}] \\ 0 , & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie, das die [mm](h_n)[/mm] eine approximierende Folge für f
> > bilden und dass deshalb f in [mm]\IL^+[/mm] liegt und [mm]I(f) = 2[/mm] ist.
> >
> > z.Z.: (i) [mm](h_n)[/mm] ist monoton wachsend und (iii) konvergiert
> > fast überall gegen f. (ii) Die Folge der Integrale [mm]I(h_n)[/mm]
> > ist beschränkt. (iv) I(f) = 2.
> >
> > (i) [mm](h_n)[/mm] ist monoton wachsend: z.Z.: [mm]h_{n+1} \ge h_{n}[/mm]
>
> >
> > [mm]h_{n+1}(x) = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4(n+1)}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n} * 2^{-4}}} = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n}}} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{16}}} = h_n(x) * 4 > h_n(x)[/mm]
>
> Die Preisfrage hier lautet: was ist [mm]x[/mm]? Oder genauer, was
> ist die Beziehung zwischen [mm]x[/mm], [mm]j[/mm] und [mm]n[/mm]? So wie sie da steht,
> glaub ich dir die (Un-)Gleichungskette naemlich nicht.
>
Naja, in der Aufgabenstellung ist ja definiert: [mm]x_{n,j} := j^4 * 2^{-4n}[/mm]
Und [mm]h_n(x_{n,j}) := f(x_{n,j}) = \bruch{1}{\wurzel{j^4 * 2^{-4n}}}[/mm], oder sehe ich das falsch?
> > (ii) [mm]I(h) = \summe_{i=0}^{2^n} f(x_{n,i}) * ?[/mm], was setze
> > ich hier für das Volumen ein? Wenn ich das habe, muss ich
> > noch zeigen, dass die Summe einen reellen Wert annimmt,
> > indem ich sie nach oben abschätze.
>
> Na, was ist denn wohl das Volumen des Intervalls
> [mm](x_{n,i-1}, x_{n,i}][/mm]? Volumen von Intervallen solltest du
> ausrechnen koennen.
>
> Und [mm]f(x_{n,i})[/mm] kannst du auch etwas genauer angeben.
>
Das ist ja, wenn man sich das skizziert, die Länge des Intervalls mal den Funktionswert, welchen ich schon eingeflochten habe.
Und die Länge des Intervalls wäre:
[mm]x_{n,i} - x_{n,i-1} = i^4 * 2^{-4n} - (i-1)^4 * 2^{-4n} = (i^4 - i^4 + 4i^3 - 6i^2 + 4i - 1) * 2^{-4n} = (4i^3 - 6i^2 + 4i - 1) * 2^{-4n}[/mm]
Und damit [mm]I(h) = \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{4i^3 - 6i^2 + 4i - 1}{2^{4n} * \wurzel{i^4 * 2^{-4n}}} = \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{4i^3 - 6i^2 + 4i - 1}{2^{4n} * i^2 * 2^{-2n}}} = \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{4i - 6 + \bruch{4}{i} - \bruch{1}{i^2}}{2^{2n}}[/mm]
[mm]= 2 - \bruch{4}{2^n} + \bruch{4}{2^{2n}} * \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i} - \bruch{1}{2^{2n}} * \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i^2}[/mm]
Die ersten beiden Summanden hab ich noch über einfache Rechenregeln (kleiner Gauß etc.) bestimmen können. existieren vielleicht auch handliche Formeln für die Umkehrwerte natürlicher Zahlen bzw. Quadratzahlen?
> > (iii) [mm](h_n)[/mm] konvergiert fast überall gegen f.
> > Aus (ii) folgt (sobald ich es gezeigt habe), dass [mm](h_n)[/mm]
> > fast überall gegen eine reellwertige Funktion konvergiert.
>
> Wieso folgt das aus (ii)? Entweder zeigst du bei (ii) mehr
> als du oben schreibst, oder ich glaube dir das nicht.
>
Das folgt aus einem Konvergenzsatz aus der Vorlesung, der da lautet:
"Sei [mm] (h_n) [/mm] eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen. Ist die Folge der Integrale [mm] I(h_n) [/mm] nach oben beschränkt, so konvergiert [mm] (h_n) [/mm] fast überall gegen eine reellwertige Funktion."
> > Bliebe für mich noch zu zeigen, dass diese reellwertige
> > Funktion mit f übereinstimmt.
>
> Nimm dir doch einfach ein [mm]x[/mm] fest und zeige
> [mm]\lim_{n\to\infty} h_n(x) \to f(x)[/mm]. Du musst dir ueberlegen,
> wie du [mm]h_n(x)[/mm] fuer gross genuges [mm]n[/mm] etwas genauer
> beschreiben kannst.
>
> > Nur wie stell ich das an? Entweder total trivial und ich
> > seh den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder...?
>
> Wenn [mm]x < 0[/mm] oder [mm]x > 1[/mm] ist, ist das doch eh klar, oder? Den
> Fall [mm]x = 0[/mm] kannst du weg lassen (es reicht ja die
> Konvergenz fuer fast alle [mm]x[/mm] zu zeigen). Also sei [mm]0 < x \le 1[/mm].
> Zu festem [mm]n[/mm] kannst du jetzt ein [mm]i[/mm] finden mit [mm]x \in (x_{n,i-1}, x_n][/mm],
> [mm]1 \le i \le 2^n[/mm]. Was kannst du ueber dieses [mm]i[/mm] sagen? Was
> ueber [mm]x_{n,i} - x[/mm], und was damit ueber [mm]f(x) - h_n(x)[/mm]?
>
> > (iv) Ergibt sich dann aus (ii), hoffe ich...
>
> Je nachdem was du in (ii) genau zeigst.
>
> LG Felix
>
Vielen Dank schon mal, Felix. Das hat mir (glaube ich) schon mal eine ganze Ecke weitergeholfen. Wie siehts mit meinen aktuellen Anläufen aus?
LG Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 10.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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