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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Die Umkehrfunktion vom sinh lautet: Ar [mm] \sinh(x)=\ln(x+\wurzel{1+x^2})
[/mm]
Nun möchte ich davon die Ableitung berechnen. Ich habe das zuerst nach der Kettenregel gemacht und erhalte:
Ar [mm] \sinh'(x)=\bruch{1}{x+\wurzel{1+x^2}}*(1-\bruch{1}{2\wurzel{1+x^2}})
[/mm]
Das sieht mir etwas unhandlich aus, um es weiter zu vereinfachen, deswegen wüsste ich gerne, ob das so richtig ist.
Dann habe ich es noch mit der Ableitung der Umkehrfunktion probiert, da erhalte ich:
Ar [mm] \sinh'(x)=\bruch{1}{\cosh(Ar \sinh(x))} [/mm]
allerdings weiß ich hier auch nicht, wie ich das noch vereinfachen soll.
Sind beide Ergebnisse das Gleiche? Wäre schön, wenn jemand was dazu sagen könnte und mir einen Tipp gibt, wie ich weiter vereinfachen kann oder sehe, dass beides das Gleiche ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 24.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Huhuuu *wink*,
kann es sein, dass Du Dich bei der Ableitung verrechnet hast?
Ich bekomme folgendes raus:
[mm] (ln(x+\wurzel{1+x^{2}})' [/mm]
= [mm] \bruch{1}{x+\wurzel{1+x^{2}}}*(1+\bruch{2x}{2*\wurzel{1+x^{2}}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x+\wurzel{1+x^{2}}}*( \bruch{x+\wurzel{1+x^{2}}}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
Schöne Grüße 
djmatey
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Hallo Bastiane,
> Die Umkehrfunktion vom sinh lautet: Ar
> [mm]\sinh(x)=\ln(x+\wurzel{1+x^2})[/mm]
>
> Nun möchte ich davon die Ableitung berechnen. Ich habe das
> zuerst nach der Kettenregel gemacht und erhalte:
>
> Ar
> [mm]\sinh'(x)=\bruch{1}{x+\wurzel{1+x^2}}*(1-\bruch{1}{2\wurzel{1+x^2}})[/mm]
das stimmt wohl nicht ganz:
[mm]
{\text{arsinh}}'(x)\; = \;\frac{1}
{{x\; + \;\sqrt {1\; + \;x^{2} } }}\;\left( {1\; + \;\frac{x}
{{\sqrt {1\; + \;x^{2} } }}} \right)
[/mm]
>
> Das sieht mir etwas unhandlich aus, um es weiter zu
> vereinfachen, deswegen wüsste ich gerne, ob das so richtig
> ist.
>
> Dann habe ich es noch mit der Ableitung der Umkehrfunktion
> probiert, da erhalte ich:
>
> Ar [mm]\sinh'(x)=\bruch{1}{\cosh(Ar \sinh(x))}[/mm]
>
Ersetze hier den cosinus hyperbolicus (cosh) gemäß
[mm]\cosh ^{2} \left( x \right)\; - \;\sinh ^{2} \left( x \right)\; = \;1[/mm].
> allerdings weiß ich hier auch nicht, wie ich das noch
> vereinfachen soll.
>
> Sind beide Ergebnisse das Gleiche? Wäre schön, wenn jemand
> was dazu sagen könnte und mir einen Tipp gibt, wie ich
> weiter vereinfachen kann oder sehe, dass beMathdes das Gleiche
> ist.
Natürlich stimmen beide Ergebnisse überein.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Zwei!
> > Die Umkehrfunktion vom sinh lautet: Ar
> > [mm]\sinh(x)=\ln(x+\wurzel{1+x^2})[/mm]
> >
> > Nun möchte ich davon die Ableitung berechnen. Ich habe das
> > zuerst nach der Kettenregel gemacht und erhalte:
> >
> > Ar
> >
> [mm]\sinh'(x)=\bruch{1}{x+\wurzel{1+x^2}}*(1-\bruch{1}{2\wurzel{1+x^2}})[/mm]
>
> das stimmt wohl nicht ganz:
>
> [mm]
[mm] {\text{arsinh}}'(x)\; [/mm] = [mm] \;\frac{1}
[/mm]
[mm] {{x\; + \;\sqrt {1\; + \;x^{2} } }}\;\left( {1\; + \;\frac{x}
{{\sqrt {1\; + \;x^{2} } }}} \right)
[/mm]
Ja, da hatte ich die innerste Ableitung vergessen. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> > Das sieht mir etwas unhandlich aus, um es weiter zu
> > vereinfachen, deswegen wüsste ich gerne, ob das so richtig
> > ist.
> >
> > Dann habe ich es noch mit der Ableitung der Umkehrfunktion
> > probiert, da erhalte ich:
> >
> > Ar [mm]\sinh'(x)=\bruch{1}{\cosh(Ar \sinh(x))}[/mm]
> >
>
> Ersetze hier den cosinus hyperbolicus (cosh) gemäß
>
> [mm]\cosh ^{2} \left( x \right)\; - \;\sinh ^{2} \left( x \right)\; = \;1[/mm].
>
>
> > allerdings weiß ich hier auch nicht, wie ich das noch
> > vereinfachen soll.
> >
> > Sind beide Ergebnisse das Gleiche? Wäre schön, wenn jemand
> > was dazu sagen könnte und mir einen Tipp gibt, wie ich
> > weiter vereinfachen kann oder sehe, dass beMathdes das
> Gleiche
> > ist.
>
> Natürlich stimmen beide Ergebnisse überein.
Ja, wenn ich mich nicht verrechnet hätte, dann wäre das so gewesen. 
Danke euch beiden für die Hilfen, hab's jetzt hinbekommen und die zweite Aufgabe mit dem Ar cosh auch gleich dazu.
Viele Grüße
Bastiane
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