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Hallo Zusammen,
Es geht um den Beweis, daß die Menge [mm]A:=\left\{x\in\mathbb{R}_{>0}:x^2\le2\right\}[/mm] als Supremum [mm]b:=\sup A[/mm] mit [mm]b^2 = 2[/mm] besitzt. Dafür werden die Annahmen [mm]b^2 < 2[/mm] und [mm]b^2 > 2[/mm] zum Widerspruch geführt. (Nach dem Vollständigkeitsaxiom muß es [mm]\sup A[/mm] geben, da [mm]A\subset\mathbb{R}[/mm].) Der Widerspruchsbeweis für [mm]b^2 > 2[/mm] ist mir jedoch nicht ganz klar.
Beweis:
Angenommen [mm]b^2 > 2[/mm]. Nach dem Archimedischen Prinzip [mm]\exists n:n>\max\left\{\textcolor{red}{\tfrac{1}{b}},\tfrac{2b}{b^2-2}\right\}[/mm]. Deswegen gilt:
[mm]\left(b-\frac{1}{n}\right)^2>b^2-\frac{2b}{n}>2.[/mm]
Das heißt: [mm]\forall x\in A:x^2\le 2 < \left(b-\tfrac{1}{n}\right)^2 < b^2[/mm]. Da [mm]\textcolor{green}{b-\tfrac{1}{n}>0}[/mm] ist, folgt [mm]x\le b-\tfrac{1}{n}< b=\sup A[/mm]. q.e.d.
[ Der Widerspruch liegt darin, daß man mit [mm]b-\tfrac{1}{n}[/mm] eine Art "neues Supremum" gefunden hat, was nicht sein kann, richtig?
Wieso benötigt man die rote Komponente für die Abschätzung beim Archimedischen Prinzip? Ich sehe nicht, wo die rote Komponente später im Beweis vorkommt.
Wieso gilt die grüne Abschätzung? ]
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Do 10.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Karl!
> Es geht um den Beweis, daß die Menge
> [mm]A:=\left\{x\in\mathbb{R}_{>0}:x^2\le2\right\}[/mm] als Supremum
> [mm]b:=\sup A[/mm] mit [mm]b^2 = 2[/mm] besitzt. Dafür werden die Annahmen
> [mm]b^2 < 2[/mm] und [mm]b^2 > 2[/mm] zum Widerspruch geführt. (Nach dem
> Vollständigkeitsaxiom muß es [mm]\sup A[/mm] geben, da
> [mm]A\subset\mathbb{R}[/mm].) Der Widerspruchsbeweis für [mm]b^2 > 2[/mm] ist
> mir jedoch nicht ganz klar.
>
>
> Beweis:
>
> Angenommen [mm]b^2 > 2[/mm]. Nach dem Archimedischen Prinzip [mm]\exists n:n>\max\left\{\textcolor{red}{\tfrac{1}{b}},\tfrac{2b}{b^2-2}\right\}[/mm].
> Deswegen gilt:
>
>
> [mm]\left(b-\frac{1}{n}\right)^2>b^2-\frac{2b}{n}>2.[/mm]
>
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> Das heißt: [mm]\forall x\in A:x^2\le 2 < \left(b-\tfrac{1}{n}\right)^2 < b^2[/mm].
> Da [mm]\textcolor{green}{b-\tfrac{1}{n}>0}[/mm] ist, folgt [mm]x\le b-\tfrac{1}{n}< b=\sup A[/mm].
> q.e.d.
>
>
> [ Der Widerspruch liegt darin, daß man mit [mm]b-\tfrac{1}{n}[/mm]
> eine Art "neues Supremum" gefunden hat, was nicht sein
> kann, richtig?
So in etwa. $b - [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] ist kein neues Supremum, aber diese reelle Zahl zeigt, dass es ein Element gibt, welches zwischen der Menge und dem angeblichen Supremum $b$ liegt -- und das ist ein Widerspruch dazu, dass $b$ ein Supremum der Menge ist.
> Wieso benötigt man die rote Komponente für die Abschätzung
> beim Archimedischen Prinzip? Ich sehe nicht, wo die rote
> Komponente später im Beweis vorkommt.
>
> Wieso gilt die grüne Abschätzung? ]
Die rote und die gruene Ungleichung sind die selben :) (Dazu musst du dir noch ueberlegen, dass $b > 0$ ist, aber das ist einfach.)
LG Felix
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