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Forum "Stetigkeit" - Arctangens Ableitung

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Arctangens Ableitung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:46 Fr 20.04.2012
Autor:	Margorion

Aufgabe 1

 Zeigen Sie, dass die Funktionen f und g, f(x) := arctan [mm] (\bruch{2+x}{1-2x})
 [/mm]

und g(x) := arctan x, auf dem Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche gleiche Ableitungen haben. 

Aufgabe 2

 Was kann man aus 1. folgern? Kann f zu einer auf [mm] \IR [/mm] stetigen Funktion fortgesetzt werden? 

Hi,
bei der ersten Aufgabe verstehe ich nicht was sie mit den Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche meinen. Der von arctan x ist ja [mm] \IR [/mm] .
Also müsste der von f(x) := arctan [mm] (\bruch{2+x}{1-2x}) [/mm] ja dann eigentlich [mm] \IR \backslash [/mm] {1/2} sein. Wie soll man da den Durchschnitt bilden? Und wie sieht das mit dem Wertebereich aus? tan x ist ja [mm] (-\pi/2 [/mm] , [mm] \pi/2) [/mm] aber wie ist das für f(x) := arctan [mm] (\bruch{2+x}{1-2x}) [/mm] da dieser ja unendlich groß bei [mm] x\to \pm \infty [/mm] und bei [mm] x\to [/mm] 0.5 unendlich klein wird.

Als Ableitung habe ich: für (arctan(x))'= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] raus bekommen.
Und für f(x) := arctan [mm] (\bruch{2+x}{1-2x}) [/mm] habe ich (f(x))'= [mm] \bruch{(1-2x)^{2}}{5*(1+x^{2})}. [/mm] Aber diese sind ja nicht gleich. Oder übersehe ich da was?
Gruß
margorion

Bezug

Arctangens Ableitung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:00 Fr 20.04.2012
Autor:	schachuzipus

Hallo Margorion,

> Zeigen Sie, dass die Funktionen f und g, f(x) := arctan
> [mm](\bruch{2+x}{1-2x})[/mm]
>  und g(x) := arctan x, auf dem Durchschnitt ihrer
> Definitionsbereiche gleiche Ableitungen haben.
>  Was kann man aus 1. folgern? Kann f zu einer auf [mm]\IR[/mm]
> stetigen Funktion fortgesetzt werden?
>  Hi,
>  bei der ersten Aufgabe verstehe ich nicht was sie mit den
> Durchschnitt  ihrer Definitionsbereiche meinen. Der von
> arctan x ist ja [mm]\IR[/mm] .

> Also müsste der von f(x) := arctan [mm](\bruch{2+x}{1-2x})[/mm]
> ja dann eigentlich [mm]\IR \backslash[/mm] {1/2} sein.

Wie soll man
> da den Durchschnitt bilden?

Na, was ist denn [mm]\IR\cap\IR\setminus\{1/2\}[/mm] ??

Welche reellen Zahlen liegen in beiden Mengen?

> Und wie sieht das mit dem
> Wertebereich aus? tan x ist ja [mm](-\pi/2[/mm] , [mm]\pi/2)[/mm] aber wie
> ist das für f(x) := arctan [mm](\bruch{2+x}{1-2x})[/mm] da dieser
> ja unendlich groß bei [mm]x\to \pm \infty[/mm] und bei [mm]x\to[/mm] 0.5
> unendlich klein wird.

Der Arcustangens ist streng monoton steigend und verläuft zwischen [mm]-\pi/2[/mm] und [mm]\pi/2[/mm] - genauer strebt [mm]\arctan(x)\to -\pi/2[/mm] für [mm]x\to -\infty[/mm] und [mm]\arctan(x)\to +\pi/2[/mm] für [mm]x\to +\infty[/mm]

> Als Ableitung habe ich: für (arctan(x))'= [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] raus bekommen.

> Und für f(x) := arctan [mm](\bruch{2+x}{1-2x})[/mm] habe ich
> (f(x))'= [mm]\bruch{(1-2x)^{2}}{5*(1+x^{2})}.[/mm]

Das sieht falsch aus.

Nach Kettenregel ergibt sich erstmal [mm]f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{2+x}{1-2x}\right)^2}\cdot{}\left[\frac{2+x}{1-2x}\right]'[/mm]

Wenn du das mal richtig berechnest und korrekt zusammenfasst, kommt [mm]\frac{5}{5x^2+5}=\frac{1}{1+x^2}=g'(x)[/mm] heraus ...

> Aber diese sind
> ja nicht gleich. Oder übersehe ich da was?
> Gruß
> margorion

LG

schachuzipus

Bezug

Arctangens Ableitung: Zweite Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:40 Mo 23.04.2012
Autor:	Margorion

Aufgabe

 Was kann man aus 1. folgern? Kann f zu einer auf [mm] \IR [/mm] stetigen Funktion fortgesetzt werden? 

Danke erstmal!

Zu Aufgabe b)

Mein Ansatz:
Was kann man aus a) folgen?
Dass f und g horizontal parallel zueinander verlaufende Funktionen (oder Graphen) sind. Es handelt sich also nur um eine Verschiebung auf der y-Achse.

Kann man g auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig erweitern ? Ich würde da einfach linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden. Laut Wolframalpha müsste ich dann darauf kommen, dass es nicht funktioniert.

Stimmt das so?
gruß margorion

Bezug

Arctangens Ableitung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:51 Mo 23.04.2012
Autor:	fred97

> Was kann man aus 1. folgern? Kann f zu einer auf [mm]\IR[/mm]
> stetigen Funktion fortgesetzt werden?
>  Danke erstmal!
>
> Zu Aufgabe b)
>
> Mein Ansatz:
>  Was kann man aus a) folgen?
> Dass f und g horizontal parallel zueinander verlaufende
> Funktionen (oder Graphen) sind. Es handelt sich also nur um
> eine Verschiebung auf der y-Achse.

Ja

>
> Kann man g auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig erweitern ?

Du meinst wohl f !!

> Ich würde da
> einfach linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden.

Ja, an welcher Stelle ?

> Laut Wolframalpha müsste ich dann darauf kommen, dass es
> nicht funktioniert.
>
> Stimmt das so?

Ja

FRED
>  gruß margorion

Bezug

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