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| Aufgabe | [mm] z=(\wurzel{3} -1)^{10}
[/mm]
Geben sie in expon. Schreibweise an!
Lösung:
z= [mm] 1024e^{\bruch{5}{3}\pi i} [/mm] |
Hallo
ich verstehe nicht ganz, wieso der angegebene Lösungwinkel positiv ist. Ich habe zuerst den Ausdruck in der Klammer in die exp. Schreibweise umgeformt. Dabei habe ich [mm] 2e^{-\bruch{1}{6}\pi i} [/mm] erhalten. Nun hätte ich sowohl die 2 mit 10 potenziert, also auch den [mm] e^{...}-Ausdruck....lt. [/mm] Rechengesetz müsste ich den Exponenten also mit 10 multiplizieren.
Aber wieso ändert sich das Vorzeichen?
[mm] 2^{10}e^{(-\bruch{1}{6}\pi i)*10} [/mm] wäre meine Lösung (also mit nem Minus im dem Argument)
Wie muss ich mir eigentlich eine solche Winkelmultiplikation am Einheitskreis vorstellen? Wäre das einfach ein "weiterwandern auf dem Einheitskreis"? also anstatt von winkel=0 aus 1/6 (als0 30°) weiterzugehen, würde ich jetzt -(!)5*1/3 weit gehen...also ein VZ-wechsel vor der 5/3 bringt einen schon zu einem anderen Winkel...verwirrung.
Danke für die Hilfe schon mal,
LZ
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Hallo Löwenzahn!
Ich nehme mal an, Du meinst hier:
[mm] $$\left( \ \wurzel{3} - \ \red{i} \ \right)^{10}$$
[/mm]
Zum Winkel:
Der Winkel [mm] $-\bruch{\pi}{6}$ [/mm] entspricht doch exakt dem Winkel [mm] $+\bruch{5}{6}*\pi$ [/mm] .
Damit sollte sich der gewünschte Ergebniswinkel einstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Loewenzahn,
> [mm]z=(\wurzel{3} -1)^{10}[/mm]
> Geben sie in expon. Schreibweise
> an!
> Lösung:
> z= [mm]1024e^{\bruch{5}{3}\pi i}[/mm]
> Hallo
> ich verstehe nicht ganz, wieso der angegebene
> Lösungwinkel positiv ist. Ich habe zuerst den Ausdruck in
> der Klammer in die exp. Schreibweise umgeformt. Dabei habe
> ich [mm]2e^{-\bruch{1}{6}\pi i}[/mm] erhalten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun hätte ich sowohl
> die 2 mit 10 potenziert, also auch den
> [mm]e^{...}-Ausdruck....lt.[/mm] Rechengesetz müsste ich den
> Exponenten also mit 10 multiplizieren.
>
> Aber wieso ändert sich das Vorzeichen?
Das scheint mir ein Rechenfehler zu sein, ich komme auch auf dein Ergebnis ...
> [mm]2^{10}e^{(-\bruch{1}{6}\pi i)*10}[/mm] wäre meine Lösung
Ja, also [mm] $1024\cdot{}e^{-\frac{5}{3}\pi i}$
[/mm]
Und diesen Winkel [mm] $\mod{2\pi}$ [/mm] ergibt:
[mm] $1024\cdot{}e^{\frac{1}{3}\pi i}$
[/mm]
> (also mit nem Minus im dem Argument)
>
> Wie muss ich mir eigentlich eine solche
> Winkelmultiplikation am Einheitskreis vorstellen? Wäre das
> einfach ein "weiterwandern auf dem Einheitskreis"?
?? [mm] $\sqrt{3}-i$ [/mm] liegt doch gar nicht auf dem Einheitskreis.
Zeiche die Zahl ein, und trage 10mal nacheinander den Winkel [mm] $\frac{11}{6}\pi [/mm] \ [mm] \left(\equiv -\frac{1}{6}\pi \ \mod{2\pi}\right)$ [/mm] im Gegenuhrzeigersinn ab ...
> also anstatt von winkel=0 aus 1/6 (als0 30°) weiterzugehen,
> würde ich jetzt -(!)5*1/3 weit gehen...also ein VZ-wechsel
> vor der 5/3 bringt einen schon zu einem anderen
> Winkel...verwirrung.
>
> Danke für die Hilfe schon mal,
> LZ
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 12.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Ja, ich meinte statt einheitskreis wohl eher "die 360° in der gaußschen zahlenebene"...das ist natürlich kein einheitskreis...
Dass du das selbe ergebnis hast, finde ich sehr beruhigend....ich bin nämlich ausgerechnet in den winkel "anders-schreib-versionen" manchmal etwas schwerfällig und seh es nicht sofort...aber diesmal war ich mir echt sicher...
Also, ich danke für eure Hilfe und werde mein Ergebnis jetzt als richtig ansehen...
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Ja, das schon, aber komme trozdem nicht drauf,
denn pi*(5/6)*10=pi*50/6=pi*(8+1/3)-->pi*1/3
und pi*(1/3) müsste nun ja mit 5/3*pi übereinstimmen, ist jedoch auf dem einheitskreis gesehen genau der winkel in die gegenläufige richtung...also bringt mich das genua wieder zu meiner lösung und deren lösung ist genau mit "-" davor... iwas hakt da mit dem Vorzeichen oder sehen ich das falsch?!
ich seh's echt nicht...tut mir leid..
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
