Argument v. komplexer Zahl < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welches Argument besitzt die komplexe Zahl
[mm] z=3(cos(2\phi)-isin(2\phi))(cos(2\phi)+isin(2\phi)) [/mm] |
Hallo.
Es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe. In der Lösung steht:
[mm] z=3(cos(2\phi)-isin(2\phi))(cos(2\phi)+isin(2\phi))=3; [/mm] das Argument von z ist also 0.
Ich versteh leider überhaupt nicht wie man zu so einer Aussage kommt.
3 ist doch der Betrag. Aber was sagt mir das jetzt?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß, Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 20.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
Hallo Esperanza
Das geht so:
1) binomische Formel: [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
2) i x i = -1
3) [mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1
[/mm]
LG
Volker
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Hallo Volker!
Danke für die Antwort. Also die Einsen heben sich auf....aber wenn ich das als binomische Formel schreibe unter Einbeziehung von [mm] i^2=-1 [/mm] müsste ja rauskommen:
[mm] 3(cos(2\phi))^2+(sin(2\phi))^2)
[/mm]
Was passiert da mit der 3? Wird die weggelassen? Ich kann den dritten Schritt noch nicht wirklich nachvollziehen.
Und [mm] (cos(2\phi))^2+(sin(2\phi))^2)=1 [/mm] ? ist das eine Tatsache?
Sorry das ich so blöd frage.
Gruß, Esperanza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 21.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Esperanza
Zeichne dir mal am Einheitskreis [mm] cos\phi [/mm] und [mm] sin\phi [/mm] für irgendein [mm] \phi. [/mm] oder ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1, nenn einen Winkel [mm] \phi
[/mm]
dann siehst du, dass [mm] cos^{2}\phi+sin^{2}\phi=1 [/mm] nichts als der Pythagoras ist. Und diese Beziehung MUSST du kennen, sie tritt immer wieder auf!
Wen du komplexe zahlen irgendwie gemacht hast solltest du auch sehen, dass da zwei konjugiert komplexe Zahlen stehen, und [mm] z*\overline{z} [/mm] ist immer reel. mit der reellen Zahl 3 multipliziert natürlich noch immer. Dass der Betrag 3 ist muss man gar nicht wissen um zu sehen Argument =0
Gruss leduart
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