Arithmetik < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 So 13.05.2012 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | 1. [mm] x^{2}+3 [/mm] = 5y+1
Geben Sie falls vorhanden alle ganzzahligen Lösungen an. Falls nicht, beweisen sie das!
2. [mm] n^{3}-4n
[/mm]
Ist dieser Term durch 3 teilbar ? |
Bei der 1. Aufgabe habe ich generell keinen Ansatz? Wie könnte ich am besten anfangen?
Bei der 2. habe ich [mm] \bruch{n^{3}-4n}{3}=x x\in\IN
[/mm]
Ich könnte das nun auf die Form [mm] n^{3}= [/mm] 3x+4n bringen ?
Aber weiter weis ich auch nicht,wie ich das beweisen muss ?
PS: Wir dürfen keine Induktion anwenden!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Man vereinfacht zunächst die Gleichung zu
[mm] x^2+2=5y
[/mm]
Dies ist so zu lesen, dass im Falle der Lösbarkeit durch ganze Zahlen die linke Seite durch 5 teilbar wäre.
Das Quadrat einer natürlichen Zahl hat aber als Einerstelle nur folgende Werte: 1,4,9,6,5,0, niemals jedoch 3 oder 8, was Voraussetzung dafür wäre, dass die um 2 vergrößerte Quadratzahl, also [mm] x^2+2 [/mm] durch 5 teilbar ist.
Anmerkung: Eine ganze Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Damit ist klar, dass diese Gleichung keine ganzzahligen Lösungen hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 So 13.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Man vereinfacht zunächst die Gleichung zu
> [mm]x^2+2=5y[/mm]
> Dies ist so zu lesen, dass im Falle der Lösbarkeit durch
> ganze Zahlen die linke Seite durch 5 teilbar wäre.
> Das Quadrat einer natürlichen Zahl hat aber als
> Einerstelle nur folgende Werte: 1,4,9,6,5,0, niemals jedoch
> 3 oder 8, was Voraussetzung dafür wäre, dass die um 2
> vergrößerte Quadratzahl, also [mm]x^2+2[/mm] durch 5 teilbar ist.
> Anmerkung: Eine ganze Zahl ist genau dann durch 5 teilbar,
> wenn sie auf 0 oder 5 endet.
> Damit ist klar, dass diese Gleichung keine ganzzahligen
> Lösungen hat.
Ok könnte ich auch noch einen Tipp für die 2. bekommen ? Die 1. Habe ich jetzt verstanden vielen Dank :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 So 13.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
siehe Antwort von nobsy. Die Argumentation hatte ich auch anzubieten.
[mm]n^3-4n=n^3-n-3n[/mm]
3n ist durch 3 teilbar.
[mm]n^3-n=n(n^2-1)=n*(n-1)*(n+1)=(n-1)*n*(n+1)[/mm] - nun ist von je drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen genau eine durch 3 teilbar. Also ist [mm](n-1)*n*(n+1)[/mm] durch 3 teilbar. Damit auch [mm](n-1)*n*(n+1)-3n[/mm].
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Das ist ganz einfach: es ist stets durch 3 teilbar!
Man formt den Term um: [mm] n^3-4n=n*(n^2-4)=n*(n-2)*(n+2).
[/mm]
Einer der drei rechts stehenden Faktoren ist stets durch drei teilbar. Man mache sich dies an der Zahlengeraden klar.
|
|
|
|
