Arithmetik Beweis 2 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 13.10.2009 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | a) Seien [mm] n\ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und k,k+1,....,k+n-1 n aufeinander folgende natürliche Zahlen. Beweisen Sie, dass mindestens eine dieser Zahlen durch n teilbar ist.
b) Gibt es natürliche Zahlen [mm] n\ge [/mm] 1, die mit der Summe ihrer echten Teiler übereinstimmen?Probieren Sie. Begründen sie ihre Antwort! |
Hallo,
also ich dachte mir vielleicht könnte ich was ausklammern....ich weiss nicht so recht weiter
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Hey, wir sitzen gerade an der selben Aufgabe und sind auf folgende Ansätze gekommen:
a)
k ist ein Konstante und vernachlässigbar (es macht für diese Aufgabe keinen unterschied bei welcher Zahl man anfängt).
n gibt sowohl an wie viel aufeinanderfolgende Zahlen du hast, als auch den Teiler von mindestens einer Zahl dieser Zahlenreihe.
Nehmen wir an n=4 so hast du vier aufeinander folgende Zahlen.
Von vier aufeinander folgende Zahlen ist mindestens eine Zahl durch vier teilbar.
Dieses beispiel kannst du für jedes [mm] n\in\IN [/mm] anwenden. (Bei 100 ist mindesten jede 100. Zahl durch 100 teilbar.)
Zu einer allgemeinen Lösung sind wir auch noch nicht gekommen.^^
b)
Sind erst vor zwei Minuten mit b angefangen, aber 6 ist möglich.
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Hallo,
hast du den Beweiß aufstellen können? Wenn ja poste diesen mal bitte, oder könnte uns jemand Hinweise geben wie man den Beweiß nun mathematisch formuliert?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mi 14.10.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
nach der Grundgleichung der Zahlentheorie lässt k bei Teilung durch n irgendeinen der Reste 0, 1, ..., n-1.
Es gilt also k=q*n + r mit q und r [mm] \in \IN [/mm] sowie [mm] 0\le r\le [/mm] n-1.
Welche der auf k folgenden Zahlen ist denn nun die, die durch n teilbar ist?
Falls r=0 gilt, ist es k selbst. Ansonsten ist die Zahl k+(n-r) durch n teilbar. Da im Fall r [mm] \ne [/mm] 0 der Rest r mindestens 1 sein muss, ist n-r [mm] \le [/mm] n-1, also ist die Zahl k+(n-r) größer as die kleinste Zahl k, aber höchstens so groß we die letzte Zahl k+(n-1).
Gruß Abakus
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> Hallo,
> nach der Grundgleichung der Zahlentheorie lässt k bei
> Teilung durch n irgendeinen der Reste 0, 1, ..., n-1.
> Es gilt also k=q*n + r mit q und r [mm]\in \IN[/mm] sowie [mm]0\le r\le[/mm]
> n-1.
>
> Welche der auf k folgenden Zahlen ist denn nun die, die
> durch n teilbar ist?
> Falls r=0 gilt, ist es k selbst.
Hallo! Danke erstmal für die zahlreichen und auch verständlichen Hinweise!
Jedoch verstehe ich diese Stelle nicht! Wir haben k aufeinanderfolgende Zahlen
Die erste Zahl wäre k
Und die zweite wäre k+1
Bis hin zur letzten k+n-1
Mir ist klar, das eine Zahl unter diesen Zahlen keinen Rest aufweisst und somit teilbar durch n ist! ...Aber jetzt mein Gedanke, wieso muss es die erste Zahl k sein? Es kann doch auch k+1 durch n teilbar sein, quasi und das wäre doch die 2te Zahl? Hm mir fällt gerade selber mein Denkfehlern auf, kann diesen zwar noch nicht ganz isolieren aber du hast recht, wenn bei der ersten Zahl der Rest 0 exsistiert ist n Teiler dieser k Zahl. Falls die erste Zahl nicht durch k teilbar ist, ist es einer der darauf folgenden Zahl bis k+n-1 ...also von k+1 ... bis k+n-1.
Nur jetzt versteh ich es nicht weiter, wie kann ich Zahl für Zahl weitergehen und den Rest auf 0 überprüfen bis ich zu gesuchten Zahl angelangt bin?
Das erinnert mich wie an For-Schleife in der Progammierung mit dem Kriterium Rest=0 . Nur wie macht man das Mathematisch?
Okay, und jetzt ist mir eingefallen, eigentlich ist es egal den jeweiligen Rest genaustens zu ermitteln, solange ein Rest raus kommt ist die Zahl nicht gesucht und egal, ja?
Kurzes Zahlenbsp: für k=11 und n=4
11 = 2*4 + 3
12 = 3*4
13 = 3*4 + 1
14 = 3*4 + 2
Nun einmal kurz allgemein:
k = q*n + (n-r)
k+1 = (q+1)*n
k+2 = (q+1)*n + (n-r)
k+n-1= (q+1)*n + (n-r)
Okay hmm ich grübel und grübel aber, naja ich muss wohl nochmal eine Frage stellen auch wenn die nicht ganz so intelligent sein mag,...
(n-r) ist immer der richtige Rest zwischen 1 und [mm] \le [/mm] n.
Aber wieso ist die Zahl k+(n-r) , die Zahl die sich glatt durch n teilt?
Bezogen auf mein Bsp. wäre k+1 die gesuchte Zahl, wobei dann k+(n-3) im "Index" hätte stehen müssen um dadrauf zukommen...Irgendwie....
Irgendwie erscheint mir das noch nicht einleuchtend :((
Könnte mich einer bitte zum Pfade des Lichtes führen^^, wäre echt super wenn jemand direkt Stellung zu meinem obrigen Beispiel ein wenig ausführlich helfen mag!
Liebe Grüße Daniel
> k+(n-r) durch n teilbar. Da im Fall r [mm]\ne[/mm] 0 der Rest r
> mindestens 1 sein muss, ist n-r [mm]\le[/mm] n-1, also ist die Zahl
> k+(n-r) größer as die kleinste Zahl k, aber höchstens so
> groß we die letzte Zahl k+(n-1).
> Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war mit den Bezeichnungen von Abakus:
$k = q*n+r$
Dann ist
$k+(n-r) = q*n+r+n-r= (q+1)*n$
teilbar durch n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Do 15.10.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke dir, an sowas hatte ich echt vorhin zwischenzeitlich mal gedacht aber ...nicht angewendet..! Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> hast du den Beweiß aufstellen können? Wenn ja poste
> diesen mal bitte, oder könnte uns jemand Hinweise geben
> wie man den Beweiß nun mathematisch formuliert?
Abakuß hat einen Beweiß aufßtellen können. Er hat dießen gepoßtet und Euch Hinweiße gegeben, wie man den Beweiß mathematißch formuliert.
Grüse vom FRED
>
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey, wir sitzen gerade an der selben Aufgabe und sind auf
> folgende Ansätze gekommen:
> a)
>
> k ist ein Konstante und vernachlässigbar
> (es macht für
> diese Aufgabe keinen unterschied bei welcher Zahl man
> anfängt).
Wirklich ? Dann nimm doch k = 1. Dann hast Du die Zahlen
1, 2, .., n
und n ist durch n teilbar.
Du siehst: so einfach kanns nicht sein
FRED
>
> n gibt sowohl an wie viel aufeinanderfolgende Zahlen du
> hast, als auch den Teiler von mindestens einer Zahl dieser
> Zahlenreihe.
>
> Nehmen wir an n=4 so hast du vier aufeinander folgende
> Zahlen.
> Von vier aufeinander folgende Zahlen ist mindestens eine
> Zahl durch vier teilbar.
>
> Dieses beispiel kannst du für jedes [mm]n\in\IN[/mm] anwenden. (Bei
> 100 ist mindesten jede 100. Zahl durch 100 teilbar.)
>
> Zu einer allgemeinen Lösung sind wir auch noch nicht
> gekommen.^^
>
> b)
>
> Sind erst vor zwei Minuten mit b angefangen, aber 6 ist
> möglich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 16.10.2009 | | Autor: | durden88 |
OK jezt bitte nochmal für welche die dumm sind (also mich). Wie soll ich jetzt genau rangehen und wie kann ich es beweisen, ich hab das echt noch nicht verstanden, mit dieser konstanten q etc? DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Division von k durch n mit Rest liefert:
$k = q*n+r$ mit q [mm] \in \IZ, [/mm] r [mm] \in \IN_0 [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] n-1$
Dann ist
$k+(n-r) [mm] \in$ [/mm] { k, k+1, ..., k+n-1}
und
$k+(n-r) = (q+1)n$ ist teilbar durch n
FRED
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Hallo allerseits!
Überprüft bitte folgende Aussage von mir, damit ich sicher sein kann das ich das Prinzip des Beweisens begriffen habe.
Ich setze vorraus das man jetzt weiß worum es in dieser Aufgabe geht(Siehe oben)!^^ ;)
Reicht es für den Beweis zuzeigen, dass k+(n-r) ein vielfaches von n in sich beinhaltet und muss man zusätzlich für diese Zahl k+(n-r) eine Existenz innerhalb unseren gesuchten Bereiches zeigen/beweisen?(So wie es Abakus machte)
Reicht es für den Beweis von der allgemein Form k=q*n+r auszugehen und am Schluss auf k+(n-r) = (q+1)n zukommen?
Muss man zudem noch zusätzlich eine Fallunterscheidung einführen wegen dem Sonderfall des Restes 0, welcher direkt am Anfang k, die Zahl, ist die durch n teilbar wäre?
Vielen Danke!
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hlalo!
> Überprüft bitte folgende Aussage von mir, damit ich
> sicher sein kann das ich das Prinzip des Beweisens
> begriffen habe.
>
> Ich setze vorraus das man jetzt weiß worum es in dieser
> Aufgabe geht(Siehe oben)!^^ ;)
Ja :)
> Reicht es für den Beweis zuzeigen, dass k+(n-r) ein
> vielfaches von n in sich beinhaltet und muss man
> zusätzlich für diese Zahl k+(n-r) eine Existenz innerhalb
> unseren gesuchten Bereiches zeigen/beweisen?(So wie es
> Abakus machte)
Du musst zeigen:
1) $k + (n - r)$ liegt in [mm] $\{ k, k + 1, \dots, k + n - 1 \}$, [/mm] also $k [mm] \le [/mm] k + n - r [mm] \le [/mm] n + n - 1$;
2) $k + (n - r)$ ist durch $n$ teilbar.
Dabei hast du bei 1) ein Problem mit $r = 0$ (siehe unten).
> Reicht es für den Beweis von der allgemein Form k=q*n+r
> auszugehen und am Schluss auf k+(n-r) = (q+1)n zukommen?
Ja, die allgemeine Form (mit $r < n$) hast du ja dank der Division mit Rest.
> Muss man zudem noch zusätzlich eine Fallunterscheidung
> einführen wegen dem Sonderfall des Restes 0, welcher
> direkt am Anfang k, die Zahl, ist die durch n teilbar
> wäre?
Ja, denn $k + (n - r)$ waer ja fuer $r = 0$ nicht mehr in der Menge der $n$ Zahlen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke dir, Felix :)
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