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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:37 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Linessa_Lynn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie ist mein erster Schritt oder wie gehe ich an die folgende Aufgabe ran:
Beweisen Sie ggT(a,b)=ggT(b,c), seien a,b,c >=1 natürliche Zahlen.
Danke
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> Wie ist mein erster Schritt oder wie gehe ich an die
> folgende Aufgabe ran:
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> Beweisen Sie ggT(a,b)=ggT(b,c), seien a,b,c >=1 natürliche
> Zahlen.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der erste Schritt wäre, daß Du die Aufgbe komplett postest.
Ich fürchte nämlich, daß Du wesentliche Informationen nicht mitgeliefert hast.
Wenn die Aufgabenstellung dann komplett ist, kannst Du uns auch schonmal mitteilen, woran di Lösung scheitert, bzw. was Dir unklar ist.
Wichtig wäre z.B., daß Du mal aufschreibst, was mit dem ggT gemeint ist.
Gruß v. Angela
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Hallo, so jetzt habe ich die Aufgabe nochmal überprüft.
also, für die genannten natrülichen Zahlen a,b,c soll a=b+c gelten.
Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann bezeichnet man die Menge aus T(a) und T(b) als Menge der gemeinsamen Teiler von a und b. Und das größte Element diese Menge, also die größte Zahl, ist der größte gemeinsame Teiler.
Mein Problem ist, dass mit die Zahlen fehlen, an denen ich etwas beweisen kann. Ich kann schlecht mit den Buchstaben hantieren und das Beweisen fällt mir schwer, weil ich eigentlich gar nicht weiß wie ich da dran gehen muss.
Danke dir schonmal für deine Hilfe
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> Hallo, so jetzt habe ich die Aufgabe nochmal überprüft.
> also, für die genannten natrülichen Zahlen a,b,c soll
> a=b+c gelten.
> Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann bezeichnet man
> die Menge aus T(a) und T(b) als Menge der gemeinsamen
> Teiler von a und b. Und das größte Element diese Menge,
> also die größte Zahl, ist der größte gemeinsame
> Teiler.
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> Mein Problem ist, dass mit die Zahlen fehlen, an denen ich
> etwas beweisen kann. Ich kann schlecht mit den Buchstaben
> hantieren und das Beweisen fällt mir schwer, weil ich
> eigentlich gar nicht weiß wie ich da dran gehen muss.
Hallo,
so klingt das schon sinnvoller, und Du kannst als ersten Tip mitnehmen, daß Du grundsätzlich die Aufgabenstellungen ganz genau lesen mußt und bei Nachfragen genau aufschreiben.
Zeigen sollst Du für drei natürliche Zahlen a,b,c, welche die Bedingunge a=b+c erfüllen,
daß ggT(a,b)=ggT(b,c).
Bevor wir das beweisen, gucken wir erstmal an einem Beispiel, ob die Aussage überhaupt stimmt.
Sei also b=15, c=36, a=15+36=51.
ggT(a,b)=ggT(51,15)=3
ggT(b,c)=ggT(15,36)=3.
Scheint also zu klappen.
Nun zum Beweis: es seien a,b,c natürliche Zahlen mit a=b+c.
Es sei ggT(b,c)=t.
Wir wollen nun zeigen, daß auch ggT(a,b)=t gilt.
ggT(b,c)=t, das bedeutet erstens, daß daß t ein gemeinsamer Teiler ist von b und c, daß es also nat. Zahlen [mm] x_b [/mm] und [mm] x_c [/mm] gibt mit
[mm] b=x_b*t
[/mm]
[mm] c=x_c*t,
[/mm]
und daß zweitens jeder andere gemeinsame Teiler t' von b und c kleiner ist als t. (Weil ja t der größte gemeinsame teiler ist.)
Nun geht's los.
Nach Voraussetzung ist a=b+c=x_bt+x_ct.
Zeige nun, daß t ein Teiler von a ist.
Damit hast Du dann gezeigt, daß t ein gemeinsamer Teiler von a und b ist.
Jetzt zeigen wir, daß es das der größte der gemeinsamen Teiler ist.
Dazu nehmen wir an, daß es einen größeren gemeinsamen Teiler t' gibt, und führen dies zu einem Widerspruch zu unseren Voraussetzungen.
Angenommen, es wäre t'>t ein weiterer gemeinsamer teiler von a und b.
Dann gäbe es nat. Zahlen [mm] y_a [/mm] und [mm] y_b [/mm] mit [mm] a=y_a*t' [/mm] und b=y_bt'.
Es ist a=b+c, also c=a-b= ... setze hier obiges ein und zeige, daß t' ein Teiler von c ist.
Warum ist das ein Widerspruch?
Gruß v. Angela
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Also ich hab nun noch das hier gemacht:
[mm] c=a-b=y_a*t´-y_b*t´=t´*(y_a-y_b)
[/mm]
Da c immer ein Teiler von sich selbst ist (also c|c) und c=a-b gilt, gilt weiterhin: c|a-b.
Aus [mm] a-b=t´*(y_a-y_b) [/mm] folgt, das sowohl t´als auch [mm] y_a-y_b [/mm] Teiler von c sein können. Dass t´jedoch ein Teiler von c ist, ist auf Grund der Vorraussetzung von zuvor, dass t der größte mögliche Teiler von c ist und alle weiteren kleiner sein müssen, ein Widerspruch. Also gilt t´ist kein Teiler von c.
Wenn das soweit richtig ist bleibt für mich noch die Frage, was mir das nun bringt... irgendwie verstehe ich nicht, was ich dadurch nun um Gegensatz bewiesen habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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