Artinsch, idempotente Elemente < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei A ein artinscher Ring mit mehr als 2 maximalen Idealen. Zeige: Es existieren idempotente Elemente außer 0 und 1. |
Hi!
Ich weiß nicht, wie ich hier ansetzen kann. Ein idempotentes Element konstruieren, stelle ich mir hier schwierig vor. Also sollte ich hier vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis argumentieren.
(Soll mit "mehr als 2 maximalen Idealen" vielleicht die zwei auch noch eingeschlossen sein? Würde meiner Meinung nach mehr Sinn ergeben.)
Ok, also ich weiß, dass A artinsch ist, d.h. absteigende Ketten von Idealen werden stationär. Annahme: 0 und 1 sind die einzigen idempotenten Elemente, also würde auch [mm] $e=e^2$ [/mm] stets $e=0$ oder $e=1$ folgen.
Ich nehme an, dass ich jetzt eine tolle fallende Idealkette erzeugen könnte. Und dabei muss ich wohl noch irgendwie verbraten, dass es mehr als 2 maximale Ideale gibt. Aber ich habe keine Ahnung, was ich da anstellen könnte, um einen Widerspruch zu erzeugen. Hat jemand einen Tipp parat?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Di 13.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A ein artinscher Ring mit mehr als 2 maximalen Idealen.
> Zeige: Es existieren idempotente Elemente außer 0 und 1.
>
> Ich weiß nicht, wie ich hier ansetzen kann. Ein
> idempotentes Element konstruieren, stelle ich mir hier
> schwierig vor. Also sollte ich hier vielleicht mit einem
> Widerspruchsbeweis argumentieren.
>
> (Soll mit "mehr als 2 maximalen Idealen" vielleicht die
> zwei auch noch eingeschlossen sein? Würde meiner Meinung
> nach mehr Sinn ergeben.)
Bei genau zwei maximalen Idealen gilt es bereits auch.
Hattet ihr schon die Aussage, dass artinsche Ringe das Produkt ihrer Lokalisierungen an den maximalen Idealen sind? Damit ist es recht einfach.
> Ok, also ich weiß, dass A artinsch ist, d.h. absteigende
> Ketten von Idealen werden stationär. Annahme: 0 und 1 sind
> die einzigen idempotenten Elemente, also würde auch [mm]e=e^2[/mm]
> stets [mm]e=0[/mm] oder [mm]e=1[/mm] folgen.
> Ich nehme an, dass ich jetzt eine tolle fallende
> Idealkette erzeugen könnte. Und dabei muss ich wohl noch
> irgendwie verbraten, dass es mehr als 2 maximale Ideale
> gibt. Aber ich habe keine Ahnung, was ich da anstellen
> könnte, um einen Widerspruch zu erzeugen. Hat jemand einen
> Tipp parat?
Nimm doch ein Element $x [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus R^\ast$, [/mm] welches nicht nilpotent ist (wenn alle Nicht-Einheiten nilpotent sind gibt es genau ein maximales Ideal -- was aber nicht der Fall ist nach Annahme). Betrachte nun die Ideale $(x), [mm] (x^2), (x^3), \dots$. [/mm] Dies ist eine absteigende Kette von Idealen, womit es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $(x^n) [/mm] = [mm] (x^{n+1})$. [/mm] Damit ist [mm] $x^n [/mm] = a [mm] \cdot x^{n+1}$ [/mm] fuer ein $a [mm] \in [/mm] R$.
Damit kannst du dir jetzt ein nicht-triviales idempotentes Element konstruieren.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
> Hattet ihr schon die Aussage, dass artinsche Ringe das
> Produkt ihrer Lokalisierungen an den maximalen Idealen
> sind? Damit ist es recht einfach.
>
Nein, leider nicht.
>
> Nimm doch ein Element [mm]x \in R \setminus R^\ast[/mm], welches
> nicht nilpotent ist (wenn alle Nicht-Einheiten nilpotent
> sind gibt es genau ein maximales Ideal -- was aber nicht
> der Fall ist nach Annahme).
Wieso gilt das denn? Den Satz hatten wir leider auch nicht. Ist das Nilradikal dann das eindeutige maximale Ideal?
> Betrachte nun die Ideale [mm](x), (x^2), (x^3), \dots[/mm].
> Dies ist eine absteigende Kette von Idealen, womit es ein [mm]n \in \IN[/mm]
> gibt mit [mm](x^n) = (x^{n+1})[/mm]. Damit ist [mm]x^n = a \cdot x^{n+1}[/mm]
> fuer ein [mm]a \in R[/mm].
>
Ok.
> Damit kannst du dir jetzt ein nicht-triviales idempotentes
> Element konstruieren.
>
Ok, ich schau mal, ob ich das hinbekomme. Gerade fällt mir nichts mehr ein, an der das liegt wohl an der Uhrzeit.
> LG Felix
>
Vielen Dank für deine Hilfe!
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> > Nimm doch ein Element [mm]x \in R \setminus R^\ast[/mm], welches
> > nicht nilpotent ist (wenn alle Nicht-Einheiten nilpotent
> > sind gibt es genau ein maximales Ideal -- was aber nicht
> > der Fall ist nach Annahme).
> Wieso gilt das denn? Den Satz hatten wir leider auch
> nicht. Ist das Nilradikal dann das eindeutige maximale
> Ideal?
Genau.
Dass ein Ring, in dem die Menge der Nichteinheiten ein Ideal bilden (also in diesem Fall das Nilradikal) genau ein maximales Ideal besitzt (nämlich genau die Menge der Nichteinheiten) kannst du dir sicher ganz einfach klar machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, vielen Dank!
Ich habe für eine andere Aufgabe auch gerade schauen müssen, was ein lokaler Ring sein soll. Dort habe ich nun auch diese Aussage gefunden (Falls R kommutativ: [mm] R\setminus R^\times [/mm] Ideal [mm] \gdw [/mm] R hat genau ein max. Ideal).
Schlimm, wenn man die Begriffe und ihre Äquivalenzen dazu nicht kennt. Na dann mach ich mich mal wieder an die Aufgabe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Ich sitze nun schon eine Weile daran und komme irgendwie nicht auf die Konstruktion. Ich weiß Folgendes:
x und [mm] x^n [/mm] (und alle größeren Potenzen von x) sind keine Einheiten und auch nicht nilpotent. Inbesondere sind all diese Elemente ungleich 0 oder 1. Daher würde es sich natürlich anbieten, wenn das idempotente Elemente irgendeine x-Potenz sein könnte.
Aber irgendwie komme ich nicht vorwärts. Ich wollte dann versuchen das a noch mit reinzubringen, aber wenn ich z.B. a*x rechne, dann könnte das ja schon wieder ein Nullteiler oder eine Einheit sein. Ich wollte solche Sachen machen wie [mm] x^n=a*x^{n+1} \Rightarrow (ax)^n=(ax)^{n+1}. [/mm]
Dann habe ich mir Sachen angeschaut wie [mm] x^n=b*x^{2n}, [/mm] aber hier stört mich das b (wäre es nicht da, hätte ich [mm] x^n [/mm] als idempotentes Element ausgemacht).
Irgendwie sehe ich gerade nicht, was man da machen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Do 15.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> x und [mm]x^n[/mm] (und alle größeren Potenzen von x) sind keine
> Einheiten und auch nicht nilpotent. Inbesondere sind all
> diese Elemente ungleich 0 oder 1. Daher würde es sich
> natürlich anbieten, wenn das idempotente Elemente
> irgendeine x-Potenz sein könnte.
Nicht direkt.
> Aber irgendwie komme ich nicht vorwärts. Ich wollte dann
> versuchen das a noch mit reinzubringen, aber wenn ich z.B.
> a*x rechne, dann könnte das ja schon wieder ein Nullteiler
> oder eine Einheit sein. Ich wollte solche Sachen machen wie
> [mm]x^n=a*x^{n+1} \Rightarrow (ax)^n=(ax)^{n+1}.[/mm]
Wendest du das ein paarmal oefter an, kannst du damit $((a [mm] x)^n)^2 [/mm] = (a [mm] x)^n$ [/mm] zeigen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Do 15.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Puh, da stand ich echt mal wieder auf dem Schlauch. Wie machst du das immer nur, dass du einfach alles weißt? :)
Ok, also ich habe es jetzt mit deiner Hilfe hinbekommen. Ich konnte auch noch zeigen, dass $ax$ weder Einheit noch nilpotent ist.
Vielen Dank noch einmal!
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