Assoziativgesetz induktiv bew. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 23.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab ein echtes Problem: Schon bei meinem ersten Übungsblatt hab ich große Probleme. Ich kann nochnicht einmal einen Anfang finden.
Beweisen sie per vollständiger Induktion:
i) Für alle k,m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(k+m)+n=k+(m+n) und (k*m)*n=k*(m*n)
ii) Für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
m+n=n+m und m*n=n*m
Wir dürfen zur Lösung die Peano-Axiome, die Existenz und Eindeutigkeit von Addition und Multiplikation verwenden.
Wär für Hilfe sehr dankbar, weil ich wirklich vesuche, dem ganzen Stoff folgen zu können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Ich hab ein echtes Problem: Schon bei meinem ersten
> Übungsblatt hab ich große Probleme. Ich kann nochnicht
> einmal einen Anfang finden.
das ist eine beliebte aufgabe um studenten am anfang zu schocken. es ist also nicht weiter bendeklich, wenn dir da der ansatz fehlt, da ich die aufgabe für schon nicht gerade leicht halte.
> Beweisen sie per vollständiger Induktion:
>
> i) Für alle k,m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> (k+m)+n=k+(m+n) und (k*m)*n=k*(m*n)
>
> ii) Für alle m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> m+n=n+m und m*n=n*m
>
> Wir dürfen zur Lösung die Peano-Axiome, die Existenz und
> Eindeutigkeit von Addition und Multiplikation verwenden.
ich rechne dir mal eine möglichkeit für das assoziativgesetz der addition vor, die aber recht technisch ist, wie immer wenn man direkt mit den peano-axiomen arbeitet, also nicht gleich verzweifeln, wenn du es am anfang nicht verstehst. probiere jeden schritt einzeln nachzuvollziehen.
also ich nehme mal an, dass ihr die addition induktiv definiert habt, es gibt also eine nachfolger abbildung $N: [mm] \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, [/mm] so dass für alle $m, n [mm] \in \mathbb{N}$:
[/mm]
(A1) [m] n + 1 := N(n) [/m]
(A2) [m] m + N(n) := N(m+n) [/m]
ich hoffe das habt ihr so ähnlich definiert.
nun kann man mit dem induktionsaxiom zeigen, dass für die menge $M$ aller natürlichen zahlen für die das assoziativgestz gilt
[m] M := \{n \in \mathbb{N}: \; \forall \, k, m \in \mathbb{N} \; (k+m) + n = k + (m + n) \} [/m]
gilt, dass $1 [mm] \in [/mm] M$ und $n [mm] \in [/mm] M [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] n + 1 [mm] \in [/mm] M$, womit die menge $M$ mit den natürlichen zahlen übereinstimmt, also das assoziativgesetz für alle natürlichen zahlen gilt.
induktionsanfang ($1 [mm] \in [/mm] M$): es ist also zu zeigen, dass $(k + m) + 1 = k + (m + 1)$ gilt.:
[m] (k + m) + 1 \stackrel{\textrm{(A1)}}{=} N(k + m) \stackrel{\textrm{(A2)}}{=} k + N(m) \stackrel{\textrm{(A1)}}{=} k + (m + 1) [/m]
induktionsschritt ($n [mm] \in [/mm] M [mm] \; \Longrightarrow [/mm] n + 1 [mm] \in [/mm] M$): es gilt also $(k + m) + n = k + (m + n)$ für ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und es ist zu zeigen, dass $(k + m) + (n + 1) = k + (m + (n + 1))$ gilt:
[m] (k + m) + (n + 1) \stackrel{\textrm{(A1)}}{=} (k + m) + N(n) \stackrel{\textrm{(A2)}}{=} N((k + m) + n) \stackrel{n \in M}{=} N(k + (m + n)) \stackrel{\textrm{(A2)}}{=} k + N(m + n) \stackrel{\textrm{(A2)}}{=} k + (m + N(n)) \stackrel{\textrm{(A1)}}{=} k + (m + (n + 1)) [/m]
das assotiativgesetz für die multiplikation sollte sich eigentlich analog beweisen lassen.
wenn du den beweis verstanden hast, probiere doch mal die kommutativität für die addition zu beweisen (dein aufgabenteil ii)). das sollte sich eigentlich mit zwei induktionen und der verwendung des assoziativgesetzes zeigen lassen. zeige mit induktion wie oben, dass die menge
[m] M_1 := \{ m \in \mathbb{N}: m + 1 = 1 + m \} [/m]
mit den natürliche zahlen übereinstimmt und danach, dass die menge
[m] M_2 := \{ n \in \mathbb{N}: m + n = n + m \} [/m]
auch mit den natürlichen zahlen übereinstimmt. dabei brauchst du zweimal [m] M_1 = \mathbb{N} [/m] (zum einen ist das der induktionsanfang und im induktionsschritt verwendest du es vermutlich auch noch einmal).
probiere doch mal, ob du etwas davon hinkriegst. du kannst dich, auch gerne nur mit ansätzen, nochmal melden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mo 24.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
Vielen Dank, dass du dir diese ganze Mühe gemacht hast um mir zu helfen.
Habe aber leider das Problem, dass wir die Addition nicht so definiert haben, wie du sie in deinem Beweis verwendest.
das einzige, was ich jetzt dazu schreiebn kann ist das:
m+1=n+1 daraus folgt n=m (das ist das erste der Peanoaxiome.)
oder: m+0=m
m+(n+1)=(m+n)+1
vielleicht kannst du erahnen, wie schwer es mir fällt einen Zusammenhang zu finden, geschweigedenn einen Beweis zu formulieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 24.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
Hab doch noch ne Hilfe im Netz gefunden. Das ist jetzt aber wirklich alles was ich finden konnte.Vielleicht kann jemand damit was anfangen.
Beweisen Sie in folgender Reihenfolge:
1. Assoziativgesetz der Addition
2. Für alle n ist 0+n = n.
3. Für alle n ist 1+n = n+1.
4. Kommutativgesetz der Addition
5. Distributivgesetz
6. Distributivgesetz II: Für alle k,m,n ist k·(m+n) = k·m +k·n.
7. Assoziativgesetz der Multiplikation
8. Für alle n ist 0·n = 0.
9. Für alle n ist 1·n = n.
10. Kommutativgesetz der Multiplikation
Für jeden Schritt benötigen Sie eine Induktion über n.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 24.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Habe aber leider das Problem, dass wir die Addition nicht
> so definiert haben, wie du sie in deinem Beweis
> verwendest.
>
> das einzige, was ich jetzt dazu schreiebn kann ist das:
>
> m+1=n+1 daraus folgt n=m (das ist das erste der
> Peanoaxiome.)
>
> oder: m+0=m
> m+(n+1)=(m+n)+1
genau das ist die definition die du benötigst.
> vielleicht kannst du erahnen, wie schwer es mir fällt einen
> Zusammenhang zu finden, geschweigedenn einen Beweis zu
> formulieren.
naja sowit auseinander sind die definitionen ja gar nicht. ein unterschied ist offensichtlich, dass bei euch die natürlichen zahlen mit $0$ beginnen - bei mir mit $1$, daher müssen die verankerung der defintion verschieden sein. ansonsten ist das was bei dir $+1$ ist, meine nachfolgerfunktion $N$ - das bilden des nachfolgers in den natürlichen zahlen entspricht ja genau der addition um eins. wenn du nämlich jetzt jedesmal statt $n + 1$ den ausdruck $N(n)$ in deiner definition schreibst erhälst du genau mein (A2) zur definition der addition.
ok - ich rechne dir nochmal den induktionsanfang vor, den müsst ihr ja dann natürlich auch für $n = 0$ machen. dabei seien deine beiden axiome zur definiton der addition
(N1) [m] m + 0 := m [/m]
(N2) [m] m + (n + 1) := (m + n) + 1 [/m]
dann ist beim induktionsanfang ($M$ sei wie in meinem letzten post) zu zeigen, dass $0 [mm] \in [/mm] M$, das heißt [m] (k + m) + 0 = k + (m + 0) [/m]. das gilt hier wegen
[m] (k + m) + 0 \stackrel{\textrm{(N1)}}{=} (k + m) = k + m \stackrel{\textrm{(N1)}}{=} k + (m + 0) [/m]
dabei wird beim ersten gleichheitszeichen (N1) auf die natürliche zahl $k + m$ angewandt, beim zweiten gleichheitszeichen werden eine überflüssige klammern weggelassen und beim dritten gleichheitszeichen wird (N1) auf die natürliche zahl $m$ angewendet.
probiere doch jetzt mal mit meinem letzten post und deinen axiomen den induktionsschritt hinzukriegen.
grüße
andreas
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