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Forum "Differenzialrechnung" - Asymptote mittels PD
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Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von f.

a) f(x) = [mm] \bruch{3x-6}{x^2-4} [/mm]

Hallo , um diese Aufgabe zu berechnen habe ich eine Polynomdivison gemacht :

f(x) = [mm] \bruch{3x-6}{x^2-4} [/mm]

(3x-6) : [mm] (x^2-4) =\bruch{3}{x} -\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4} [/mm]
[mm] -(3x-\bruch{12}{x}) [/mm]
---------------
        -6 [mm] +\bruch{12}{x} [/mm]

Ist das bis hierhin richtig ?  


        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 So 18.12.2011
Autor: M.Rex

Hallo

das geht auch, ist aber sehr kopmpliziert.

Mit einigen wenigen Termunmformungen bekommst du:

$ [mm] f(x)=\bruch{3x-6}{x^2-4} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{3}{(x+2)} [/mm] $

Und nun kannst du die Asymptote quasi direkt ablesen, denke ich.

Marius


Bezug
                
Bezug
Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Alles klar , danke für die Korrektur.

Bei meiner "Version" ist [mm] \bruch{3}{x} [/mm] die Asymptote , oder nicht ?

Aber bei deiner Rechnung ist es [mm] \bruch{3}{(x+2)} [/mm] , oder ?

Oder habe ich einen Denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 18.12.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Die Asymptote ist immer der "Nicht gebrochene" Teil, bei beiden Fällen also die x-Achse mit x=0

Marius


Bezug
                                
Bezug
Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Also wenn ich jetzt als Ergebnis der Polynomdivison das hier habe :
[mm] \bruch{3}{x} [/mm] - [mm] \bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}. [/mm]

Dann muss ich , nach der Aufgabenstellung , die Gleichung der Asymptote angeben, also :

A(x) = [mm] \bruch{3}{x} [/mm] , so hatten wir das gelernt , der andere Teil der Polynomdivison ist ja der Rest , und 3/x ist ein Polynom.

Bezug
                                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 So 18.12.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Also wenn ich jetzt als Ergebnis der Polynomdivison das
> hier habe :
>  [mm]\bruch{3}{x}[/mm] - [mm]\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}.[/mm]
>  
> Dann muss ich , nach der Aufgabenstellung , die Gleichung
> der Asymptote angeben, also :
>  
> A(x) = [mm]\bruch{3}{x}[/mm] , so hatten wir das gelernt

Das kann nicht sein, 3/x ist ja schon gebrochen.

> , der
> andere Teil der Polynomdivison ist ja der Rest , und 3/x
> ist ein Polynom.

3/x ist kein Polynom.

Nach deiner Rechnung ist das Ergebnis:

[mm] f(x)=\underbrace{0}_{\text{Polynomanteil, also Asymptote}}+\underbrace{\bruch{3}{x}-\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}}_{\text{gebrochener Anteil}}$ [/mm]

Nach der Rechnung über das Faktorisieren:

[mm] f(x)=\underbrace{0}_{\text{Polynomanteil, also Asymptote}}+\underbrace{\bruch{3}{x+2}}_{\text{gebrochener Anteil}}$ [/mm]

Allgemein gilt: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, ist die x-Achse die Asymptote.

Marius


Bezug
                                                
Bezug
Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Achsoo  , also darf die Asymptote nie gebrochen sein ?

Bezug
                                                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Hab jetzt mal diese Aufgabe hier berechnet :

f(x) = [mm] \bruch{3x^2+2x+1}{2x+1} [/mm]

Polynomdivision:

[mm] (3x^2+2x+1) [/mm] : (2x+1) [mm] =\bruch{3x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{4x}+\bruch{0,75}{2x+1} [/mm]
[mm] -(3x^2+\bruch{3x}{x}) [/mm]
----------------------
           [mm] \bruch{x}{2}+1 [/mm]
          [mm] -(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{4x}) [/mm]
           -----------------------------------


                                   [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

Ist [mm] \bruch{3x}{2} [/mm] hier die Asymptote ?


Bezug
                                                                
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 So 18.12.2011
Autor: M.Rex


> Hab jetzt mal diese Aufgabe hier berechnet :
>  
> f(x) = [mm]\bruch{3x^2+2x+1}{2x+1}[/mm]
>  
> Polynomdivision:
>  
> [mm](3x^2+2x+1)[/mm] : (2x+1) [mm]=\bruch{3x}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{x}{4x}+\bruch{0,75}{2x+1}[/mm]
>  [mm]-(3x^2+\bruch{3x}{x})[/mm]
>  ----------------------
>             [mm]\bruch{x}{2}+1[/mm]
>            [mm]-(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{4x})[/mm]
>             -----------------------------------
>  
>
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>  
> Ist [mm]\bruch{3x}{2}[/mm] hier die Asymptote ?

fast.

Bedenke, [mm] \frac{x}{4x}=\frac{1}{4}. [/mm]

Also ist die Asymptote:

[mm] a(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{4} [/mm]

Marius


Bezug
                                                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 So 18.12.2011
Autor: M.Rex


> Achsoo  , also darf die Asymptote nie gebrochen sein ?  

So ist es.

Marius


Bezug
                                                                
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Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Und gebrochen heißt in diesem Fall z.B


[mm] \bruch{10}{4x+3} [/mm]
oder
[mm] \bruch{x^2}{x-3} [/mm]

Liege ich richtig ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 So 18.12.2011
Autor: M.Rex


> Und gebrochen heißt in diesem Fall z.B
>  
>
> [mm]\bruch{10}{4x+3}[/mm]
>  oder
>  [mm]\bruch{x^2}{x-3}[/mm]
>
> Liege ich richtig ?  

Gebrochen heisst, es gibt einen Nenner.

[mm] \frac{10}{4x+3} [/mm] kann man micht weiter vereinfachen, also ist hier die X-Achse (a(x)=0) die Asymptote.

[mm] $\bruch{x^2}{x-3}=x+3+\frac{9}{x-3}$ [/mm]

Also ist a(x)=x+3 die Asymptote.

Marius



Bezug
                                                                                
Bezug
Asymptote mittels PD: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Aber bei [mm] \bruch{3x}{2}+ \bruch{1}{4} [/mm] gibt es ja auch einen Nenner.

Ist es so , dass es keine Asymptote ist , sobald im Nenner x ist ?

Also zum Beispiel :

[mm] \bruch{7}{x} [/mm] oder [mm] \bruch{x^4+36x}{x+3}? [/mm]

Bezug
                                                                                        
Bezug
Asymptote mittels PD: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 So 18.12.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Aber bei [mm]\bruch{3x}{2}+ \bruch{1}{4}[/mm] gibt es ja auch einen
> Nenner.

Ja, aber doch nur im Bruch davor.

>  
> Ist es so , dass es keine Asymptote ist , sobald im Nenner
> x ist ?
>
> Also zum Beispiel :
>  
> [mm]\bruch{7}{x}[/mm] oder [mm]\bruch{x^4+36x}{x+3}?[/mm]  

Jein. Der Bruch muss "echt sein", also der Zählergrad =0 sein.

Also mache bei [mm] $\bruch{x^4+36x}{x+3}?$ [/mm]  noch die Polynomdivision.

Marius


Bezug
                                                                                                
Bezug
Asymptote mittels PD: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 So 18.12.2011
Autor: pc_doctor

Vielen Dank für die Antwort , wird mir jetzt klarer.
Dankeschön.

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