Asymptote von f(x) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] K_{f} [/mm] ist der Graph der Funktion f mit
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x-1+e^{-x}
[/mm]
Bestimmen Sie die Asymptote von der Funktion f(x) |
Wir schreiben demnächst eine Arbeit und es kommt was mit/über Asymptoten dran... Dazu haben wir die oben stehende Aufgabe zur Übung bekommen.
Jedoch, Wie soll das bitte gehen?! oO
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Hi, ono...,
> [mm]K_{f}[/mm] ist der Graph der Funktion f mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x-1+e^{-x}[/mm]
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> Bestimmen Sie die Asymptote von der Funktion f(x)
> Wir schreiben demnächst eine Arbeit und es kommt was
> mit/über Asymptoten dran... Dazu haben wir die oben
> stehende Aufgabe zur Übung bekommen.
>
> Jedoch, Wie soll das bitte gehen?! oO
"Bestimmen" kannst Du hier die Asymptote nicht wirklich - nur "logisch erarbeiten" und anschließend beweisen.
Also: Für x [mm] \to +\infty [/mm] geht [mm] e^{-x} [/mm] offensichtlich gegen 0, der lineare Anteil [mm] \bruch{1}{2}x-1 [/mm] jedoch nicht.
Es leuchtet also ein, dass nur die Gerade mit der Gleichung
[mm] y=\bruch{1}{2}x-1
[/mm]
als Asymptote (für x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty) [/mm] in Frage kommt.
Der Beweis dieser Tatsache erfolgt direkt über die Definition
(Kurzfassung: y=a(x) ist genau dann Asymptote (bzw. Asymptotenfunktion)
von y=f(x) für x [mm] \to \infty, [/mm]
wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x)-a(x)) = 0 gilt.)
In unserem Beispiel ist: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x)-a(x)) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (e^{-x}) [/mm] = 0. q.e.d.
mfG!
Zwerglein
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