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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 08.05.2005 | | Autor: | Kirke85 |
Ich habe bestimmt, dass die Asymptote x+1 ist und weiß, dass ich dies schriftlich wie folgt begründe:
A(x)=x+1 ist schiefe Asymptote, da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x)-A(x))=0
Aber wie mache ich das nun in der mündlichen Prüfung?
Bzw. was bedeutet dieser Satz eigentlich?
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Hi, Kirke,
> Ich habe bestimmt, dass die Asymptote x+1 ist und weiß,
> dass ich dies schriftlich wie folgt begründe:
> A(x)=x+1 ist schiefe Asymptote, da
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (f(x)-A(x))=0
> Aber wie mache ich das nun in der mündlichen Prüfung?
> Bzw. was bedeutet dieser Satz eigentlich?
Der Satz bedeutet, dass der (in y-Richtung gemessene) Abstand zwischen dem Funktionsgraphen und der Asymptoten y=x+1 für x [mm] \to \infty [/mm] immer geringer wird, gegen 0 geht. In einer Skizze kann man das deutlich erkennen. In einer mündlichen Prüfung wirst Du's genauso begründen, nur dass Du nicht alles hinschreiben musst!
Bei einer gebrochen-rationalen Funktion bedeutet
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x)-A(x))=0
letztlich, dass der bei der Polynomdivision erhaltene "Rest" gegen 0 geht, denn der entspricht genau der Differenz f(x)-A(x).
Reicht Dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 08.05.2005 | | Autor: | Kirke85 |
Und was sage ich, wenn es sich um eine waagerechte Asymptote handelt?
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Hi, Kirke,
auch nix anderes, weil dann die Asymptotengleichuung halt einfach y=c (konstant) ist. Für die Grenzwertbetrachtung ist es kein Unterschied, ob eine Gerade (Asymptote) schief ist oder waagrecht.
Einziger Unterschied: Eine waagrechte As. kann man normalerweise viel leichter erkennen, weil bei dann z.B. einer gebr.-rat.Fkt. keine Polynomdivision nötig ist (aber möglich ist die Polynomdivision auch hier!!!).
Beispiel: f(x) = [mm] \bruch{2x^{3} + 5x^{2}-7}{3x^{3} - 6x}
[/mm]
Der Graph dieser Funktion hat bei [mm] y=\bruch{2}{3} [/mm] eine waagrechte Asymptote, weil:
Zählergrad = Nennergrad.
In diesem Fall ergibt sich die Asymptote aus den Leitkoeffizienten der höchsten Potenzen von Zähler und Nenner; diese sind hier: 2 und 3.
Noch leichter geht's, wenn die x-Achse (y=0) waagrechte As. ist: Dies ist bei einer gebr.-rat. Fkt dann der Fall, wenn der Zählergrad KLEINER ist als der Nennergrad, z.B.:
f(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{x^{5} + 7x^{2} - 6}
[/mm]
Klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 08.05.2005 | | Autor: | Kirke85 |
Danke, damit sind alle meine Fragen geklärt. Sehr gut erklärt *lob*
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