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Abend zusammen,
ich sitz mal wieder vor 2 Aufgaben bei denen ich einfach nicht so zurecht komme. Ich fang am besten gleich mal an...
Aufgabe 1:
2 Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x³-4x}{x²+x-6}
[/mm]
2.1 Bestimmen sie die maximale Definitionsmenge der Funktion und untersuchen sie ob sich der Funktionsterm vereinfachen lässt.
Lösungsansatz:
x1/2= [mm] \bruch{-1 \pm \wurzel{25}}{2}
[/mm]
x1=2
x2=-3
Df= [mm] \IR [/mm] nicht {-3;2}
Wie kann ich den Funktionsterm vereinfachen? Stimmt die Definitionsmenge?
2.2 Untersuchen sie das Verhalten der Funktionswerte in der Umgebung der Definitionslücken.
Lösungsansatz:
x [mm] \to2 [/mm] f(x) [mm] \to2
[/mm]
x>2
x [mm] \to2 [/mm] f(x) [mm] \to2
[/mm]
x<2
x [mm] \to-3 [/mm] f(x) [mm] \to [/mm] ? [mm] \infty
[/mm]
x>-3
x [mm] \to-3 [/mm] f(x) [mm] \to [/mm] ? [mm] \infty
[/mm]
x<-3
Beim Verhalten an der Polstelle weiß ich einfach nicht weiter. Kann mir hier jemand helfen und mir das Erklären?
2.3 Ermitteln sie die Gleichung der Asymptoten des Graphen sowie die Koordinaten ihres Schnittpunktes.
Lösungsansatz:
x=-3 Ist eine Polstelle, also habe ich hier die erste Asymptote mit der Funktion x=-3
Die zweite wollte ich über die Polynomdivision herausfinden. Folgende Rechnung habe ich da gemacht:
[mm] (x^3 [/mm] - 4x ) : [mm] (x^2 [/mm] + x - 6) = x - 1 Rest 3x - 6
[mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 6x
- [mm] x^2 [/mm] + 2x
- [mm] x^2 [/mm] - x + 6
3x - 6
y=x-1
Nun müsste ich ja beide Gleichsetzen
y=-3-1
y=-4
Schnittpunkt (-3;-4)
Stimmen die Ergebnisse so? Bin mir hier eigentlich recht sicher.
2.4 Berechnen sie die Werte für x für den Graph oberhalb der Geraden y= [mm] \bruch{3}{4}x
[/mm]
Hier weiß ich absolut nicht weiter.
Nun zur zweiten Aufgabe:
3 Gegeben ist die reelle Funktion f(x)= [mm] \bruch{x³-ax²-2a²x}{4-x²}
[/mm]
3.1 Ermitteln sie die maximale Definitionsmenge.
Lösungsansatz:
4-x²=0
x1=2
x2=-2
Df= [mm] \IR [/mm] nicht {-2;2}
Sollte eigentlich stimmen.
3.2 Berechnen sie die Zahlen a, für die bei x=2 eine stetig behebbare Definitionslücke besitzt.
Lösungsansatz:
0=2³-a2²-2a²2
0=-4a²-4a+8
a1/2= [mm] \bruch{4 \pm \wurzel{144}}{-8}
[/mm]
a1=-2
a2=1
Behebbare Lücke heißt Zähler Nenner gleich 0. Also a=-2
Sollte eigentlich stimmen.
3.3 Berechnen sie die möglichen Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von a und untersuchen sie dann, für welche Werte a die Funktion genau 3 Nullstellen besitzt.
Hinweis: Zerlegen sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren und prüfen sie dann auch für welche Zahlen a eine Kürzung möglich ist.
Hier habe ich echt keine Ahnung wie das gehen sollte. Da bräuchte ich eine gute und ausführliche Erklärung!
3.4 Hier gilt a=2
Untersuchen sie das Verhalten der Funktionswerte in den jeweiligen Umgebungen ihrer Definitionslücken UND bestimmen sie die Gleicheung aller Asymptoten des Graphen.
Lösungsansatz:
f(x)= [mm] \bruch{x³-2x²-8x}{4-x²}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{x(x²-2x-8)}{4-x²}
[/mm]
Hier komm ich genauso wenig weiter wie bei der Aufgabe zuvor. Da wäre auch wieder eine gute Erklärung nötig.
Also, ich hoffe einer nimmt sich meiner an ;)... Viel dürfte schon gemacht und richtig sein, nur eben bei paar Sachen komm ich einfach nicht voran. Wie gesagt, für eine gute und ausführliche Erklärung wär ich euch sehr dankbar.
MfG
Marcel
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Hi, schaaafsmilch,
> Aufgabe 1:
>
> 2 Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x³-4x}{x²+x-6}[/mm]
>
> 2.1 Bestimmen sie die maximale Definitionsmenge der
> Funktion und untersuchen sie ob sich der Funktionsterm
> vereinfachen lässt.
>
> Lösungsansatz:
>
> x1/2= [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{25}}{2}[/mm]
>
> x1=2
> x2=-3
>
> Df= [mm]\IR[/mm] nicht {-3;2}
>
Richtig!
> Wie kann ich den Funktionsterm vereinfachen?
Durch Kürzen, wobei Du Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegst:
f(x) = [mm] \bruch{x*(x+2)*(x-2)}{(x+3)*(x-2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x*(x+2)}{x+3}
[/mm]
> 2.2 Untersuchen sie das Verhalten der Funktionswerte in der
> Umgebung der Definitionslücken.
>
> Lösungsansatz:
>
> x [mm]\to2[/mm] f(x) [mm]\to2[/mm]
> x>2
>
> x [mm]\to2[/mm] f(x) [mm]\to2[/mm]
> x<2
Stimmt nicht: Für x [mm] \to [/mm] 2 geht f(x) [mm] \to \bruch{8}{5} [/mm] = 1,6
was Du durch Einsetzen von x=2 in den gekürzten Funktionsterm leicht ausrechnen kannst!
> x [mm]\to-3[/mm] f(x) [mm]\to[/mm] ? [mm]\infty[/mm]
> x>-3
>
Der Zähler des (gekürzten) Funktionsterms geht gegen (-3)*(-3+2) = +3, also ist der Zähler positiv.
Der Nenner geht gegen 0 und zwar (da man von rechts gegen -3 geht, also immer ein bisschen mehr einsetzt als -3, z.B. -2,9) gegen "+0".
Insgesamt ist das Ergebnis daher [mm] +\infty.
[/mm]
> x [mm]\to-3[/mm] f(x) [mm]\to[/mm] ? [mm]\infty[/mm]
> x<-3
Der Zähler des (gekürzten) Funktionsterms geht wieder gegen (-3)*(-3+2) = +3, also ist der Zähler immer noch positiv.
Der Nenner geht auch gegen 0 und zwar diesmal (da man ja von links gegen -3 geht, also immer ein bisschen weniger einsetzt als -3, z.B. -3,1) gegen "-0".
Insgesamt ist das Ergebnis daher [mm] -\infty.
[/mm]
> 2.3 Ermitteln sie die Gleichung der Asymptoten des Graphen
> sowie die Koordinaten ihres Schnittpunktes.
>
> Lösungsansatz:
>
> x=-3 Ist eine Polstelle, also habe ich hier die erste
> Asymptote mit der Funktion x=-3
>
> Die zweite wollte ich über die Polynomdivision
> herausfinden. Folgende Rechnung habe ich da gemacht:
>
> [mm](x^3[/mm] - 4x ) : [mm](x^2[/mm] + x - 6) = x - 1 Rest
> 3x - 6
> [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] - 6x
>
> - [mm]x^2[/mm] + 2x
> - [mm]x^2[/mm] - x + 6
>
> 3x - 6
>
>
>
> y=x-1
>
> Nun müsste ich ja beide Gleichsetzen
>
> y=-3-1
> y=-4
>
> Schnittpunkt (-3;-4)
>
> Stimmen die Ergebnisse so? Bin mir hier eigentlich recht
> sicher.
>
>
Ist richtig!
> 2.4 Berechnen sie die Werte für x für die der Graph oberhalb
> der Geraden y= [mm]\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> Hier weiß ich absolut nicht weiter.
>
>
Ansatz: f(x) > [mm] \bruch{3}{4}x
[/mm]
[mm] \bruch{x^{2}+2x}{x+3} [/mm] > [mm] \bruch{3}{4}x
[/mm]
1. Fall: x+3 > 0 <=> x > -3 (***)
[mm] 4*(x^{2}+2x) [/mm] > 3x(x+3)
[mm] 4x^{2} [/mm] + 8x > [mm] 3x^{2} [/mm] + 9x
[mm] x^{2} [/mm] - x > 0 Diese Ungleichung "für sich alleine" ergibt:
x<0 [mm] \vee [/mm] x>1
Mit x>-3 aus (***) erhält man aber nur:
-3 < x < 0 [mm] \vee [/mm] x > 1
2. Fall: x < -3
[mm] 4*(x^{2}+2x) [/mm] < 3x(x+3)
[mm] 4x^{2} [/mm] + 8x < [mm] 3x^{2} [/mm] + 9x
[mm] x^{2} [/mm] - x < 0 Diese Ungleichung "für sich alleine" ergibt:
0 < x < 1
Mit x<-3 erhält man aber: [mm] L_{2} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Insgesamt ist also nur die Lösung aus dem 1. Fall brauchbar:
-3 < x < 0 [mm] \vee [/mm] x > 1
Ach ja, und (bald hätt' ich's vergessen - ja, ja, das Alter!):
natürlich noch mit x [mm] \not=2, [/mm] wegen der Definitionsmenge von f.
Also: -3 < x < 0 [mm] \vee [/mm] x > 1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not=2.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Und jetzt wäre nur noch Aufgabe 2!
danke Zwerglein für die Hilfe bei Aufgabe 1
MfG Marcel
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Bei der 3.3 müsste es doch heißen:
x²-ax-2a²x=0
Kann ich die dann so über die Mitternachtsformel ausrechnen?
Oder wie soll ich weiter vorgehen?
Gruß Marcel
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Sollte natürlich x²-ax-2a² heißen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Di 18.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Wir hatten doch im Zähler $x_$ ausgeklammert und erhalten daher:
[mm] $x^3 [/mm] - [mm] a*x^2 [/mm] - [mm] 2a^2*x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^{3-1} - a*x^{2-1} - 2a^2*x^{1-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^{2} - a*x^{1} - 2a^2*x^{0}\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2 - a*x - 2a^2*1\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2 - a*x - 2a^2\right)$
[/mm]
Und, ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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Ab in die Mitternachtsformel und dann hab ich:
x1=0
x2=2a
x3=-2a
Seh ich das richtig?
Und wie komm ich nun zu den 3 Nullstellen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 18.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
[mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind richtig!
[mm] $x_3$ [/mm] leider nicht, ich erhalte: [mm] $x_3 [/mm] \ = \ -a$ .
> Und wie komm ich nun zu den 3 Nullstellen?
Die haben wir doch soeben ausgerechnet ...
Gruß
Loddar
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Ach so ja klar ... *ans hirn lang*
mit den -2a war ein kleiner Tippfehler ...
Danke für deine Hilfe...
Jetzt schau ich mal ob ich die 3.4 hinbekomm...
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Ich komm einfach mit der Linearzerlegung nicht zurecht. Vielleicht ist es auch schon zuspät um jetzt Mathe zu machen?!?
Mit der Polynomdivision bekomm ich ja eine Asymptote raus. Die wäre y=-x+2.
Aber mit dem Rest komm ich einfach nicht weiter.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Polynomdivision
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