Asymptoten gebr.-rat. Fkt. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 So 09.04.2006 | | Autor: | Caipi |
| Aufgabe | f(x)=(x²-1)/(x²+2)
Ermittle die art und Lage des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion f!
Untersuche das Verhalten der Funktion f für x->+/-Unendlich und gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen dieser Funktion an! |
Also den Extrempunkt habe ich selbst herausgefunden, der liegt bei (0/-0,5)-ist ein Tiefpunkt.
Allerdings habe ich Schwierigkeiten bei der Asymptote. Könnte mir jemand sagen, wie ich das lösen kann und auch die konkrete Lösung dafür? Danke!
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 09.04.2006 | | Autor: | homme |
Ich vermute mal, dass die Asymptote gesucht ist, die das Verhalten im Unendlichen der gebrochenen rationalen Funktion angibt.
Grundsätzlich unterscheidet man hier in horizontale und schräge Asymptote
horizontale Asymptote:
Nennerpolynom größer oder gleich Zählerpolynom:
Nennerpolynom größer Zählerpolynom dann liegt die Asymptote auf der x-Achse (y=0)
Bestimmung durch Ermittlung des Grenzwertes gegen unendlich
Nennerpoylnom gleich Zählerpolynom dann liegt die Asymptote parallel zur x-Achse
Bestimmung siehe deine Aufgabe
schräge Asymptote:
Nennerpolynom kleiner Zählerpolynom
Bestimmung mittels Polynomdivision:
z.B.: [mm] x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1) [/mm]
für |x| gegen unendlich nähert sich die Funktion der Geraden g=x-1 an. Die Gerade g ist somit die schräge Asymptote:
Deine Aufgabe:
Man klammert das [mm] x^2 [/mm] aus und erhält [mm] (x^2(1-1/x^2))/(x^2(1+2/x^2)).
[/mm]
Für x gegen unendlich erhältst du den Grenzwert 1. Das heißt der Graph nähert sich für x gegen unendlich immer mehr 1 an. Die Gerade y=1 ist die horizontale Asymptote des Graphen.
Zusätzlich gibt es noch senkrechte Asymptoten bei Polstellen.
Ich hoffe, dass ich dir nun die Lösung geliefert habe, die gemeint ist. Falls etwas unverständlich ist, schreibst halt bitte rein was.
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