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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:30 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | k ein algebraisch geschlossener Körper mit charakteristik 0. [mm] X\in\mathbb{A}^2 [/mm] eine Kurve gegeben durch die Gleichung:
[mm] x^4-x^2+y^4=0.
[/mm]
Gib eine vollständige nichtsingulare Kurve C, die birational equivalent zu X ist.
Beschreibe C entweder als geschlossene Teilmenge von [mm] \mathbb{P}^n, [/mm] oder gib explizite Klebeinformation (gluing data). |
Hallo!
Ich habe bei dieser Aufgabe die Aufblasungen geschafft.
Zunächst sieht man, dass die Singularität im Punkt (0,0) liegt. (Ein 'tacnode', ich weiß nicht, wie der im Deutschen genannt wird?).
Also wird im Ursprung aufgeblasen, mit zwei neuen Koordinaten u und t.
Wir haben dann zwei Gleichungen:
[mm] x^4-x^2+y^4=0 [/mm] und xu=ty.
Also betrachte ich zuerst den ersten 'Chart' (entschuldigung, hier weiß ich den deutschen Begriff auch nicht ;)):
[mm] t\not= [/mm] 0, also skalieren wir t=1, und erhalten:
y=xu
und
[mm] x^4-x^2+(xu)^4=0=x^2(x^2+x^2u^4-1).
[/mm]
Die zweite Gleichung beschreibt dann also unsere erste neue unter-Varietät. [mm] X_{1}
[/mm]
Im zweiten Chart:
[mm] u\not= [/mm] 0, skaliere u=1.
Also erhalten wir:
x=yt
und
[mm] (yt)^4-(yt)^2+y^4=0=y^2(y^2t^4-t^2+y^4)
[/mm]
Also bekommen wir mit [mm] y^2t^4-t^2+y^4 [/mm] eine neue unter-Varietät [mm] X_{2}.
[/mm]
Diese hat allerdings in (0,0) eine Singularität. Also müssen wir hier ein zweites Mal aufblasen:
Hier nehmen wir neue Koordinaten (a,b):
ya=tb.
Im Chart eins:
Betrachte [mm] a\not=0 [/mm] und skaliere a=1:
Wir erhalten y=tb
und
[mm] t^2(b^2t^4-1+b^2)=0
[/mm]
Und mit [mm] b^2t^4-1+b^2 [/mm] eine neue uner-Varietät [mm] X_{2,1}
[/mm]
Im Chart zwei:
Betrachte [mm] b\not=0 [/mm] und skaliere b=1:
Wir erhlaten ya=t
und
[mm] y^2(y^4a^4-a^2+1)=0
[/mm]
Also mit [mm] a^2-y^4a^4=1 [/mm] eine neue unter-Varietät [mm] X_{2,2}.
[/mm]
Jetzt habe ich also diese drei Teilstücke ohne Singularitäten, und weiß nicht genau wie ich mit dem Verkleben weitermache...
Wir haben überlegt:
Mit der Koordinatenveränderung [mm] (y,a)=(tb,\bruch{1}{t}) [/mm] werden die Varietäten [mm] X_{2,1} [/mm] und [mm] X_{2,2} [/mm] verklebt.
Mit (y,t) = (xu, [mm] \bruch{1}{u}) [/mm] die Varietäten [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2}.
[/mm]
Dazu nehmen wir die Projektion [mm] \pi: (y,a)\to(y,ya)=(y,t),
[/mm]
sodass wir mit [mm] (x,u)=(ay^2,\bruch{1}{ay})=(bt^2,\bruch{1}{t}) [/mm] die Verklebung haben?
Entschuldigung wegen der Form..
Es ist alles noch ein wenig chaotisch und gekürzt :D und auch das Umschreiben ins Deutsche ist manchmal etwas holperig.
Ich hoffe es kann aber doch jemand mein Chaos durchblicken!
Ganz liebe Grüße
Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Fr 17.05.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo Loo,
da mir eine wesentliche Definition von euch nicht klar ist, schreibe ich dies hier als Mitteilung.
Was versteht ihr genau unter "glueing data" (Verklebungsdaten(?)) ?
Übersetzungsanmerkungen: Chart wird meist mit Karte übersetzt.
Node wird meist mit Knoten übersetzt, tacnode mit Doppelknoten oder, meine bevorzugte Variante, gar nicht übersetzt.
Im wesentlichen ist das was du schreibt durchaus nachvollziehbar und alles andere als chaotisch.
> Ich habe bei dieser Aufgabe die Aufblasungen geschafft.
> Zunächst sieht man, dass die Singularität im Punkt (0,0)
> liegt. (Ein 'tacnode', ich weiß nicht, wie der im
> Deutschen genannt wird?).
>
> Also wird im Ursprung aufgeblasen, mit zwei neuen
> Koordinaten u und t.
> Wir haben dann zwei Gleichungen:
> [mm]x^4-x^2+y^4=0[/mm] und xu=ty.
>
> Also betrachte ich zuerst den ersten 'Chart'
> (entschuldigung, hier weiß ich den deutschen Begriff auch
> nicht ;)):
> [mm]t\not=[/mm] 0, also skalieren wir t=1, und erhalten:
> y=xu
> und
> [mm]x^4-x^2+(xu)^4=0=x^2(x^2+x^2u^4-1).[/mm]
> Die zweite Gleichung beschreibt dann also unsere erste
> neue unter-Varietät. [mm]X_{1}[/mm]
Die entstehende Untervarietät besteht es beiden Gleichungen (außer du meinst das hier schon als Untervarietät der Aufblasungsvarietät)
>
> Im zweiten Chart:
> [mm]u\not=[/mm] 0, skaliere u=1.
> Also erhalten wir:
> x=yt
> und
> [mm](yt)^4-(yt)^2+y^4=0=y^2(y^2t^4-t^2+y^4)[/mm]
> Also bekommen wir mit [mm]y^2t^4-t^2+y^4[/mm] eine neue
> unter-Varietät [mm]X_{2}.[/mm]
> Diese hat allerdings in (0,0) eine Singularität. Also
> müssen wir hier ein zweites Mal aufblasen:
>
> Hier nehmen wir neue Koordinaten (a,b):
> ya=tb.
> Im Chart eins:
> Betrachte [mm]a\not=0[/mm] und skaliere a=1:
> Wir erhalten y=tb
> und
> [mm]t^2(b^2t^4-1+b^2)=0[/mm]
> Und mit [mm]b^2t^4-1+b^2[/mm] eine neue uner-Varietät [mm]X_{2,1}[/mm]
>
> Im Chart zwei:
> Betrachte [mm]b\not=0[/mm] und skaliere b=1:
> Wir erhlaten ya=t
> und
> [mm]y^2(y^4a^4-a^2+1)=0[/mm]
> Also mit [mm]a^2-y^4a^4=1[/mm] eine neue unter-Varietät [mm]X_{2,2}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich also diese drei Teilstücke ohne
> Singularitäten, und weiß nicht genau wie ich mit dem
> Verkleben weitermache...
Mir würden die obigen Verklebungen (ya=t etc.) bereits reichen.
> Wir haben überlegt:
> Mit der Koordinatenveränderung [mm](y,a)=(tb,\bruch{1}{t})[/mm]
> werden die Varietäten [mm]X_{2,1}[/mm] und [mm]X_{2,2}[/mm] verklebt.
>
> Mit (y,t) = (xu, [mm]\bruch{1}{u})[/mm] die Varietäten [mm]X_{1}[/mm] und
> [mm]X_{2}.[/mm]
>
> Dazu nehmen wir die Projektion [mm]\pi: (y,a)\to(y,ya)=(y,t),[/mm]
>
> sodass wir mit
> [mm](x,u)=(ay^2,\bruch{1}{ay})=(bt^2,\bruch{1}{t})[/mm] die
> Verklebung haben?
>
> Entschuldigung wegen der Form..
> Es ist alles noch ein wenig chaotisch und gekürzt :D und
> auch das Umschreiben ins Deutsche ist manchmal etwas
> holperig.
>
> Ich hoffe es kann aber doch jemand mein Chaos
> durchblicken!
>
> Ganz liebe Grüße
> Loko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 21.05.2013 | | Autor: | Loko |
Hallo sometree!
Vielen Dank für deine Antwort :)
Das mit der gluing-data ist uns auch nicht so ganz klar :D aber der Professor hatte in seinem Beispiel auch einfach die Koordinatenveränderungen explizit aufgeschrieben. Es wird dann also so reichen.
Danke nochmal! Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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