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Hallo Ich hab da nochmal ne Frage zur linearen Abhängigkeit:
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass doe folgenden Vektoren aus [mm] \R^{3}[/mm] linear abhängig sind.
[mm] v_{1} = \vektor{1 \\ -1 \\ 2} ; v_{2} = \vektor{8 \\ -10 \\ -3} ; v_{3} = \vektor{0 \\ -2 \\ -19} [/mm]
Nun habe ich dies in ein lineares Gleichungssystem gepackt:
[mm]
\lambda_{1} + 8 \lambda_{2} = 0
- \lambda_{1} - 10 \lambda_{2} - 3 \lambda_{3} = 0
2 \lambda_{1} - 3 \lambda_{2} - 19 \lambda_{3} = 0
[/mm]
Dann habe ich die II Gleichung mal - 2 genommen und die III Gleichung dazu addiert.
[mm]
\lambda_{1} + 8 \lambda_{2} = 0
- \lambda_{1} - 10 \lambda_{2} - 2 \lambda_{3} = 0
0 - 19 \lambda_{2} - 19 \lambda_{3} = 0
[/mm]
Nun habe ich die II Gleichung zur I Gleichung addiert.
[mm]
\lambda_{1} + 8 \lambda_{2} = 0
0 - 2 \lambda_{2} - 2 \lambda_{3} = 0
0 - 19 \lambda_{2} - 19 \lambda_{3} = 0
[/mm]
Und nun weiß ich nicht weiter:
kann mir jemand helfen ? Egal wie ich es umstelle es funktioniert irgendwie nicht!
Danke
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Hab zwar deine Zwischenschritte nicht überprüft, aber das letzte LGS, das noch dasteht, sieht doch schwer nach 'linear abhängig' aus.
Nimm einfach die 2. Zeile [mm]*19[/mm] , die 3. Zeile [mm]*2[/mm] und zieh die beiden voneinander ab [mm]\Rightarrow[/mm] eine Nullzeile entsteht.
Was hat die Nullzeile mit lin. abh. zu tun? Die Frage ist doch: gibt es bei mehreren Vektoren [mm] \vec{a_1}... \vec{a_n}[/mm] die Möglichkeit, sie linear zum Nullvektor zu kombinieren (also [mm]\lambda_1*\vec{a_1}+...+\lambda_n*\vec{a_n}=\vec{0}[/mm]), ohne den Holzhammer (auch "triviale Lösung" genannt  ) auspacken zu müssen, nämlich [mm]\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]?
Und genau das kann man, wenn im zugehörigen LGS eine Zeile wegfällt, weil man dann ja einen Parameter einführen kann, der unendlich viele Kombinationsmöglichkeiten der Vektoren zulässt, so dass der Nullvektor rauskommt.
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aber ich dachte das mindestens ein lambda ungleich Null sein muß!!
Christinchen
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> aber ich dachte das mindestens ein lambda ungleich Null
> sein muß!!
Genau!
Sobald es eine Lösung mit einem [mm] \lambda_{i}\not=0, [/mm] also eine nichttriviale Lösung, gibt, sind die Vektoren linear abhängig!
Lieber Gruß
Ulrike
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