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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Aufgabe - Vektoren
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Aufgabe - Vektoren: Benötige Tip
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 So 17.12.2006
Autor: KnockDown

Aufgabe
Gegeben seien die folgenden vier Vektoren in [mm] \IR^3 [/mm]

[mm] $\vec{v_1}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vec{v_2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}, \vec{v_3}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}, \vec{v_4}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}$ [/mm]

Verifizieren Sie, dass diese vier Vektoren den ganzen Raum [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen.

Hi,

ich benötige hier einen Tip um überhaupt mal anfangen zu können. Ich vermute mal dass die Aufgabe was mit dem Span/Linearen Hülle zu tun hat um das zu zeigen oder?


Danke Gruß Thomas

        
Bezug
Aufgabe - Vektoren: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 So 17.12.2006
Autor: ron

Hallo Thomas,
die Idee mit dem Spann bzw. lineare Hülle war völlig richtig. Wieviele Vektoren spannen den [mm] \IR^3 [/mm] auf? Es werden drei linear unabhängige Vektoren benötigt. Schreibe die vier Vektoren als Spalten einer Matrix nebeneinander, dann bestimme den Rang dieser Matrix. Kann maximal drei sein, wegen Zeilenrang = Spaltenrang! Sollte dieser Matrixrang kleiner als drei sein, kann der [mm] \IR^3 [/mm] nicht durch die vier gegebenen Vektoren aufgespannt werden.
Die Aufgabenstellung kann auch anders formuliert werden mit dem gleichen Ziel: Wähle aus den vier Vektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus.

Hoffe jetzt ist die Aufgabe leichter zu rechnen. Sonst einfach nachfragen.
Gruß
Ron

Bezug
                
Bezug
Aufgabe - Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 So 17.12.2006
Autor: KnockDown

Hi,

danke für den Tip, ich habe es ausgerechnet und der Rang beträgt 3, also spannen die 4 Vektoren den gesamten [mm] \IR^3 [/mm] auf :-)


Danke für die Hilfe!



Gruß Thomas

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe - Vektoren: Zusatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Mo 18.12.2006
Autor: ron

Hallo,
noch als Zusatz kann somit gezeigt werden, welcher der vier Vektoren Linearkombination der drei anderen ist und somit kein Basisvektor des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Ron

Bezug
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