www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #113 (GEO),(PolM)
Aufgabe #113 (GEO),(PolM) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabe #113 (GEO),(PolM): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:28 Mi 28.12.2005
Autor: Hanno

Aufgabe
Es sei ein Dreieck ABC gegeben. Die Fußpunkte der Lote von B und C auf die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ seien $K$ und $L$. Ferner sei $N$ Mittelpunkt von BC und AM Höhe im Dreieck ABC. Man zeige, dass K,L,N,M auf einem Kreis liegen.

Viel Spaß!


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #113 (GEO),(PolM): Jetzt mit Figur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mi 28.12.2005
Autor: moudi

Aufgabe
Es sei ein Dreieck ABC gegeben. Die Fußpunkte der Lote von
B und C auf die Winkelhalbierende des Winkels bei A seien K und L. Ferner sei N Mittelpunkt von BC und AM Höhe im Dreieck ABC.

Man zeige, dass K,L,N,M auf einem Kreis liegen.

Hallo Hanno

Es sei D der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden [mm] $w_\alpha$ [/mm] mit dem Umkreis. Bekannlich (folgt aus dem Peripheriewinkelsatz) halbiert dann D den Umkreisbogen zwischen B und C. Das heisst die Seitenmitte N ist der Lotfusspunktes des Lotes von D auf die Seite BC. Ausserdem ist M der Lotfusspunkt des Lotes von A auf BC.

Die Aufgabe ist also ein Spezialfall folgender Aufgabe:
Gegeben sei ein Kreis (oben: Umkreis des Dreiecks) und vier Punkte A, B, C, D auf dem Kreis. Seien K, L die Lotfusspunkte von B, C auf die Gerade AD und M, N die Lotfusspunkte von A, D auf die Gerade BC.
Dann liegen die vier Punkte K, L, M, N ebenfalls auf einem Kreis.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Sei S der Schnittpunkt von AD und BC (sind AD und BC parallel, dann ist KLMN ein gleichschenkliges Trapez).

Nach dem Sekantensatz liegen die vier Punkte K, L, M, N genau dann auf einem Kreis, wenn [mm] $SK\cdot SL=SM\cdot [/mm] SN$ ist.

Weil A, B, C, D auf einem Kreis liegen gilt daher: [mm] $SA\cdot SD=SB\cdot [/mm] SC$.

Die vier Punkte A, C, L, M,  liegen auf einem Kreis, dem Thaleskreis über AC, deshalb gilt
1) [mm] $SA\cdot SL=SC\cdot [/mm] SM$

Die vier Punkte B, D, K, N liegen auf einem Kreis, dem Thaleskreis über BD, deshalb gilt
2) [mm] $SD\cdot SK=SB\cdot [/mm] SN$

Multipliziert man die Gleichungen 1) und 2) miteinander und berücksichtigt [mm] $SA\cdot SD=SB\cdot [/mm] SC$, so erhält man
[mm] $SK\cdot SL=SM\cdot [/mm] SN$, daher liegen die vier Punkte $K, L, M, N$ auf einem Kreis.  QED

mfG Moudi

[a]fig2.gif

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Aufgabe #113 (GEO),(PolM): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Do 05.01.2006
Autor: Hanno

Hallo Moudi!

Eine tolle Lösung! Den Ansatz, über die Umkehrung des Sehnensatzes zu zeigen, dass KLMN ein Sehnenviereck ist, finde ich toll und den habe ich auch bisher noch nirgends gesehen! Ich werde es mir auf jeden Fall merken :)

Danke für diese klasse Lösung! [respekt]


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]