Aufgabe 3 für Hanno (Heuser) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:08 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Kapitel II, §13, Aufgabe 8:
Sei [mm] ${\cal M}$ [/mm] eine nichtleere Menge von Mengen [mm] $M,N,\ldots$.
[/mm]
Nenne $M$ äquivalent zu $N$, wenn es eine bijektive Abbildung $f:M [mm] \to [/mm] N$ gibt.
Zeige, dass hierdurch eine Äquivalenzrelation auf [mm] ${\cal M}$ [/mm] definiert wird.
Viel Spaß! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan.
Da die Tatsache, dass es eine Bijektion zwischen zwei Mengen äquivalent zu der GLeichmächtigkeit zweier Mengen ist, lassen sich die Forderungen für eine Äauivalenzrelation leicht über diese Gleichmächtigkeit zeigen. Da für jede Menge $M$ die Gleichung $|M|=|M|$ erfüllt ist, gilt die Reflexivität der Relation. Da zudem die Gleichungen [mm] $|M|=|N|\gdw [/mm] |N|=|M|$ äquivalent sind, gilt auch die Symmetrie. Wegen [mm] $|M|=|N|\wedge |M|=|P|\Rightarrow [/mm] |N|=|P|$ folgt zu guter letzt noch die Transitivität der Relation, womit bewiesen wäre, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Du darfst hier nicht über die Mächtigkeit argumentieren, weil dieses Hilfsmittel (was für nicht-endliche Menge im Übrigen nicht-trivial ist) dort nicht zur Verfügung steht.
Versuche es bitte noch einmal mit der direkten Definition (und Aufgabe 2).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan!
Hier noch ein Anlauf
Wieder müssen die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt sein.
Die Reflexivität folgt aus der Existenz der Identitätsabbildung, der Abbildung also, für die $f(x)=x$ gilt. Die Symmetrie folgt aus der Bijektivität der Abbildungen. Existiert eine solche Bijektion $f: A\to B$, so kann sie, eben da sie bijektiv ist, eindeutig in eine bijektive Abbildung $g^{-1}:B\to A$ umgekehrt werden. Die Transitivität ergibt sich aus dem Kompositum: seien nämlich zwei Bijektionen $f: A\to B$ und $g: B\to C$ gegeben, so kann eine weitere Bijektion $h: A\to C$ so definiert werden: $h:\left \{ \begin{array}{ccc} A & \to & C \\ a & \mapsto & (g\circ f)(a) \end{array} \right$. Somit gilt auch die Transitivität und folglich handelt es sich bei der untersuchten Relation um eine Äquivalenzrelation, q.e.d.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Sehr schön! Im letzten Argumentationsschritt benutzt du Aufgabe 2, die du sicherlich noch lösen wirst.
Liebe Grüße
Stefan
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