Aufgabe #67 (IrMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:14 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man finde alle ganzzahligen Lösungstripel $(p,q,n)$ von $p(p+3)+q(q+3)=n(n+3)$, wobei $p$ und $q$ Primzahlen sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
> Man finde alle ganzzahligen Lösungstripel [mm](p,q,n)[/mm] von
> [mm]p(p+3)+q(q+3)=n(n+3)[/mm], wobei [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] Primzahlen sind.
[mm]3(p+q)+p^2+q^2=3n+n^2[/mm]
Sind p und q ungleich 3 so lässt die linke Seite den Rest 2 modulo 3. Da die Rechte seite kongruent zu [mm]n^2[/mm] modulo 3 ist, ist dies nicht möglich. Es ist also o.b.d.A. p=3.
[mm]18+3q+q^2=3n+n^2[/mm]
Offensichtlich ist n>q.
Setzt man n=q+k, so ergibt sich:
[mm]18+3q+q^2=3q+q^2+k(3+2q+k)[/mm]
[mm]18=k(3+2q+k)[/mm]
Nun kann man für k die Teiler von 18 durchgehen.
Es ergeben sich die Lösungen:
k=1, q=7
k=2, q=2
Es ergeben sich also folgende Tripel (p,q,n):
(3,2,4)
(3,7,8)
(2,3,4)
(7,3,8)
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan!
Mal wieder klasse!
Liebe Grüße,
Hanno
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