Aufgabe #68,#69 ,(ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:58 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Hier zwei schöne, kleine Aufgaben:
Man beweise
(a)
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} [/mm] < 2$
(b)
[mm] $\summe_{i=3}^{\infty} \frac{1}{i^3} [/mm] < [mm] \frac{1}{12}$
[/mm]
Anwendung der Kenntnis von [mm] $\zeta (2)=\frac{\pi^2}{6}$ [/mm] sind bei (a) Tabu  !
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Zur a)
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} [/mm] < 1 + [mm] \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left(\frac{1}{i-1} - \frac{1}{i} \right) [/mm] = 1 + 1 = 2$
(Teleskopsumme)
Zur b)
[mm] $\sum\limits_{i=3}^{\infty} \frac{1}{i^3} [/mm] < [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(i+1)i(i-1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{i=3}^{\infty} \left( \frac{1}{i+1} - \frac{2}{i} + \frac{1}{i-1} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{12}$
[/mm]
(Teleskopsumme)
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Genau so habe ich das auch gemacht
Liebe Grüße,
Hanno
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