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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre)
Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 22:22 Fr 29.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es sei $X$ eine Menge und [mm] $f:X\to [/mm] X$ eine bijektive Abbildung auf $X$. Zeige: es gibt Abbildungen [mm] $g_1:X\to [/mm] X, [mm] g_2:X\to [/mm] X$ mit [mm] $f=g_1\circ g_2$ [/mm] und [mm] $g_1\circ g_1=g_2\circ g_2=id_X$. [/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Fr 29.07.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo Hanno,

Ich habe mir das so vorgestellt.

Sei g:X [mm] \to [/mm] X so, dasss g [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_X [/mm] g [mm] \not= id_X. [/mm] So etwas gibt es zuhauf.

Setze [mm] g_1 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] g_2 [/mm] = g

Dann: [mm] g_1 \circ g_2 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ id_X [/mm] = f
[mm] g_2 \circ g_2 [/mm] = [mm] id_X [/mm]
[mm] g_1 \circ g_1 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_X \Leftrightarrow f^{-1} \circ [/mm] g [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g [mm] \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = [mm] f^{-1} \Leftrightarrow [/mm] g = (g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g

q.e.d.

Liebe Grüße,
Holy Diver


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Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Doch nicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:27 Fr 29.07.2005
Autor: holy_diver_80

Habe leider zwei Zeilen auf meinem Blatt verwechselt, und bin auf eine asymmetrische Äquivalenz gekommen. So geht es doch nicht.

Liebe Grüße,
Holy Diver


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Bezug
Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Fr 19.08.2005
Autor: Toellner

Hallo,

erstmal definiere ich für beliebige x aus X:

[mm] f^{0}(x) [/mm] = x := [mm] x_{0} [/mm]
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] f(f^{n}(x)) [/mm] := [mm] x_{n+1} [/mm]     bzw.
[mm] f^{-n-1}(x) [/mm] = [mm] f^{-1}(f^{-n}(x)) [/mm] := [mm] x_{-n-1} [/mm]

zur Vereinfachung der Schreibweise. Dann ist  

x~y  [mm] :\gdw [/mm]  Es gibt ein [mm] n\in\IZ: [/mm]  y = [mm] f^{n}(x) [/mm]

eine Äquivalenzrelation (ohne Beweis) und die Äquivalenzklassen sind eine Partition von X.
Sei eine solche Äquivalenzklasse Y gegeben und sie sei unendlich, sei weiter ein Wert [mm] x_{0}\in [/mm] Y ausgewählt, dann lässt sich Y schreiben als

Y = [mm] \{x_{n} / n\in\IZ \} [/mm]

mit obiger Vereinfachung der Schreibweise (also [mm] x_{n} [/mm] = [mm] f^{n}(x_{0})). [/mm]
Jetzt definiere ich

[mm] g_{1}(x_{n}) [/mm] :=  [mm] x_{-n} [/mm]
[mm] g_{2}(x_{n}) [/mm] :=  [mm] x_{-n+1} [/mm]

für alle [mm] n\in\IZ [/mm] und erhalte

[mm] g_{1}(g_{1}(x_{n})) [/mm]  =  [mm] g_{1}(x_{-n}) [/mm]  =  [mm] x_{n} [/mm]
[mm] g_{2}(g_{2}(x_{n})) [/mm]  =  [mm] g_{2}(x_{-n+1}) [/mm]  =  [mm] x_{-(-n+1)+1} [/mm]  =  [mm] x_{n} [/mm]

also die gewünschten Identitäten auf Y. Außerdem ist

[mm] g_{2}(g_{1}(x_{n})) [/mm]  =  [mm] g_{2}(x_{-n}) [/mm]  =  [mm] x_{-(-n)+1} [/mm]  =  [mm] x_{n+1} [/mm]  =  [mm] f(x_{n}) [/mm]

also  f = [mm] g_{2} \circ g_{1} [/mm] .
Wenn Y endlich ist, gibt es ein minimales k mit  [mm] x_{0} [/mm] =  [mm] f^{k}(x_{0}). [/mm]
In diesem Fall gelten alle Definitionen modulo k genauso.
Da Y Teil einer Partition ist, d.h., dass sich die Mitglieder der Partition nicht überschneiden, kann man [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] problemlos auf ganz X ausdehnen.
Hinweis: Bei unendlichen X braucht man i.A. das Auswahlaxiom für dieses Vorgehen.

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Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Richard!

Die Lösung ist absolut genial!! Ich bin zutiefst beeindruckt. Ich gebe es unumwunden zu:  Darauf wäre ich niemals gekommen (ich habe über die Aufgabe wirklich lange nachgedacht!!).

[respekt]

Wie bist du bloß auf die Idee mit dieser Äquivalenzrelation gekommen? [kopfschuettel]

Liebe Grüße
Stefan

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Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Di 30.08.2005
Autor: Toellner

Hallo  Stefan,

ich dank' Dir sehr für die Blumen!!
Meine Spezialgebiete sind Formale Logik und Mengenlehre (bei Walter Felscher, Tübingen) und Funktionalanalysis (bei Jochen Werner in Göttingen): In beiden Gebieten untersucht man oft Funktionen f: X -> X und Folgen der Art [mm] f^{n}(x), [/mm] außerdem gibts einen Satz aus der Kombinatorik, dass man alle Permutationen auf 2er-Permutationen zurückführen kann, und die sind ja selbstinvers...
So führt eins zum andern!
Mich würde interessieren, Wo Hanno die Aufgaben hernimmt!?

Liebe Grüße und weiterhin viel Erfolg mit dem Matheforum,
Richard

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Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Di 30.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Richard!

> Mich würde interessieren, Wo Hanno die Aufgaben hernimmt!?

Na klar. Du findest tausende Aufgaben auf http://www.kalva.demon.co.uk/index.html, auch die schönen Aufgaben der IMC.


Liebe Grüße,
Hanno

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Bezug
Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Lieber Richard!

Okay, dann bin ich ja "etwas beruhigt", dass du wenigstens Fachmann in dem Thema bist. ;-) Aber das schmälert die Leistung nicht; ich bleibe beeindruckt. :-)

Lieber Hanno!

Wow, schöne Seite, die kannte ich gar nicht! [daumenhoch]

Wir haben ja mittlerweile sehr viel ungelöste Wettbewerbsaufgaben im Forum, zum Teil auch richtig alte. Falls du mal Zeit hast und ein paar der Lösungen kennst, fände ich es schön, wenn du sie (zumindestens zu den ganz alten Aufgaben) mal reinstellen könntest. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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