Aufgabe Exponentialgleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute
Ich habe da eine Exponentialgleichung:
[mm] 12^x [/mm] + [mm] 4*3^{4-x} [/mm] = 0
[mm] 12^x [/mm] = [mm] -4*3^{4-x} [/mm]
Ich weiss, dass man hier schon anfangen könnte den Logarithmus anzuwenden, aber wir haben in der Schule das Ganze weiterumgewandelt. Leider kann ich dabei nicht mehr verstehen, wieso hier ein -1 vorhanden ist. Vielleicht weiss von euch jemand, wie wir auf dieses -1 gekommen sind. Ich kann es so, wie es da steht, nicht mehr nachvollziehen.
[mm] (3*4)^x [/mm] = [mm] -4*3^{4-x}
[/mm]
[mm] -\bruch{4^x}{4}= \bruch{3^{4-x}}{3^x}
[/mm]
=> (-1) [mm] -4^{x-1} [/mm] = [mm] 3^{4-x-x}
[/mm]
[mm] ln((-1)-4^{x-1})=3^{4-2x} [/mm]
ln(-1) + (x-1)*ln(-4) = (4-2x)*ln(3)
Von wo kommt dieses -1 und fehlt da nicht noch irgendwie ein Multiplikationszeichen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Lieber Gruss Nicole
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Hallo,
ich denke, du hast den Term [mm] -\bruch{4^{x}}{4} [/mm] verstanden, schreibe ich ihn etwas anders [mm] -(\bruch{4^{x}}{4^{1}}) [/mm] in der Klammer Potenzgesetz [mm] -(4^{x-1}) [/mm] jetzt wieder ohne Klammer schreiben,
Steffi
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Hallo Steffi
Ja, dass dort die Potenzgesetzte angewendet wurden, verstehe ich ja noch. Aber woher kommt dieses -1?
Vielen Dank und
liebe Grüsse Nicole
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Hallo,
[mm] 12^{x}+4*3^{4-x}=0 [/mm] umstellen [mm] -4*3^{4-x}
[/mm]
[mm] 12^{x}=-4*3^{4-x} [/mm] ersetzen 12=3*4
[mm] (3*4)^{x}=-4*3^{4-x}
[/mm]
[mm] 3^{x}*4^{x}=-4*3^{4-x} [/mm] Division durch -4 und [mm] 3^{x}
[/mm]
[mm] \bruch{4^{x}}{-4}=\bruch{3^{4-x}}{3^{x}}
[/mm]
[mm] -\bruch{4^{x}}{4}=\bruch{3^{4-x}}{3^{x}}
[/mm]
[mm] -4^{x-1}=3^{4-x-x}
[/mm]
[mm] -4^{x-1}=3^{4-2x}
[/mm]
[mm] (-1)*4^{x-1}=3^{4-2x}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
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> [mm]12^{x}+4*3^{4-x}=0[/mm] umstellen [mm]-4*3^{4-x}[/mm]
Leider macht die ganze nachfolgende Akrobatik keinen Sinn: denn eine Exponentialfunktion mit Basis [mm]>0[/mm] hat immer Werte [mm]>0[/mm] also ist die linke Seite dieser Gleichung eine Summe von Zahlen [mm]>0[/mm], also jedenfalls selbst [mm]>0[/mm]. Diese Exponentialgleichung hat somit keine Lösungen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Nicole1989 |
Hallo somebody
Ja, dass die Lösung keine Zahlen im reelen Zahlenbereich beinhaltet ist mir klar. Mir ging es jedoch hauptsächlich nur darum, wie wir damals bei der Umstellung auf die -1 gekommen sind. Dass das Resultat keine Lösung beinhaltet sollte man sowieso spätistens beim ln(-Zahlen) merken.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüsse Nicole
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Hallo Steffi
Ja, so ist es auch für mich nachvollziehbar. Aber in meiner Lösung...haben wir die -1 und die -4 gelassen und nicht die -4 in eine +4 umgewandelt.
Liebe Grüsse Nicole
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Hi Leute
Ich habe da gerade noch zwei weitere Aufgaben, bei denen ich am Ende stehen bleibe. Vielleicht kann mir da noch jemand einen Ratschlag geben, was ich da am Schluss falsch mache:
1. Aufgabe
e^2t = [mm] 2^{t+e}
[/mm]
ln(e) * 2t = t*ln(2)+ln(2)*e | -(t*ln(2))
ln(e)*2t-ln(2)*t = ln(2)*e
t(2*ln(e)-ln(2)) = ln(2)*e / 2*ln(e)-ln(2)
ja die Lösung: e*ln(2) / 2-ln(2)
bei mir steht da halt noch ln(e), frage mich nur wo die das hintun:)
Aufgabe 2: 6t = [mm] 7^{t+2}-7^{t}
[/mm]
6t = [mm] 7^{t+2}*(1-7^{-2})
[/mm]
[mm] ln(6t)-ln(7^{t+2}) [/mm] = [mm] ln(1-7^{-2})
[/mm]
ln (6)*t-ln(7)* (t+2) = [mm] ln(1-7^{-2})
[/mm]
ln (6)*t-t*ln(7)+2*ln(7)= [mm] ln(1-7^{-2})
[/mm]
t(ln(6)-ln(7)) = [mm] ln(1-7^{-2})-2*ln(7) [/mm] / (ln(6)-ln(7))
Lösung: ln(48) / ln (6/7)
Also auf ln 6/7 bin ich ja unten auch gekommen...nur das Obere stimmt hier auch wieder nicht...komisch:S
Naja, wäre euch um eine Antwort sehr dankbar.
Liebe Grüsse Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 18.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Nicole,
Zur Aufgabe 1:
Wie du schon gemerkt hast, ist das erstmal alles richtig. Die Frage wo der ln(e) hingekommen ist, kannst du dir vermutlich eigentlich selbst beantworten.
Hierzu ein kleiner Tipp: Der Logarithmus-naturalis (ln) ist definiert als Umkehrfunktion der e-Funktion. Ein Umkehrfunktion liefert aber (per Definition) gerade wieder das Argument der Ausgangsfunktion, also hier den Exponenten am e.
Ich denke, dass sollte helfen um das "Verschwinden" des ln(e) zu erklären.
Zur Aufgabe 2:
> 6t = [mm]7^{t+2}*(1-7^{-2})[/mm]
soweit so gut, nur bei der Umformung im nächsten Schritt liegt der Fehler: Auf der rechten Seite steht hier ein Produkt! keine Summe!du musst also, wenn du [mm] 7^{t+2} [/mm] nach links bringen möchtest, dividieren!
Der Rest ist dann natürlich auch erstmal falsch, aber normalerweise sollte das nun in die Richtung gehen.
Aufpassen musst du nur mit dem ln(6t). Das ist i.A. nicht [mm] ln(6)\*t.
[/mm]
Schöne Grüße
Tobbi
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Hallo zusammen
Vielen Dank für eure Antworten. Ich habe da leider noch eine letzte Zeile, bei der ich nicht auf ln(48) komme:
$ [mm] ln(1-7^{-2})-2\cdot{}ln(7) [/mm] $ / (ln(6)-ln(7))
Der obere Teil gibt zwar den ln(48), aber irgendwie kriege ich den nicht hin...
ln(49) - ....
Und noch eine andere Frage...was ist genau die Exponentialfunktion? Bzw. was ist der Unterschied zum natürlichen Logarithmus und was kann man mit ihm herausfinden?:)
Vielen lieben Dank.
Grüsse Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Di 19.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Nicole,
mit nur der einen Zeile kann ich dir auch nur sagen, "da scheint wohl was falsch zu sein", wo der Fehler liegt sieht man so natürlich nicht. Am besten du postest mal deinen Rechenweg.
Zu der Exponentialfunktion und dem Logarithmus:
Die Exponentialfunktion (E-Funktion) ist definiert als [mm] exp(x)=e^{x} [/mm] sie liefert dir also die Zahl e (2,718...) hoch einem Exponenten (x).
Der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis e) ist genau die Umkehrfunktion, macht sozusagen das rückgängig, was die Exponentialfunktion dem x angetan hat, soll heißen sie liefert dir das Argument (x) zurück. [mm] ln(e^{x})=x)
[/mm]
Hoffe die Erläuterung hilft dir weiter
Tobbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Di 19.06.2007 | | Autor: | Nicole1989 |
Hallo Tobbi
Vielen Dank, ja das hat mir weitergeholfen. Zum Rechenweg, es ist derselbe wie am Anfang, den ich gepostet habe. Nur da ist zu sagen es ist [mm] 6^t [/mm] und nicht 6t.
Liebe Grüsse Nicole
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Hmm...sieht von euch den auch niemand den Fehler in dieser Vorgehensweise?
Aufgabe 2: [mm] 6^t [/mm] = $ [mm] 7^{t+2}-7^{t} [/mm] $
[mm] 6^t [/mm] = $ [mm] 7^{t+2}\cdot{}(1-7^{-2}) [/mm] $
$ [mm] ln(6^t)-ln(7^{t+2}) [/mm] $ = $ [mm] ln(1-7^{-2}) [/mm] $
ln (6)*t-ln(7)* (t+2) = $ [mm] ln(1-7^{-2}) [/mm] $
ln (6)*t-t*ln(7)+2*ln(7)= $ [mm] ln(1-7^{-2}) [/mm] $
t(ln(6)-ln(7)) = $ [mm] ln(1-7^{-2})-2\cdot{}ln(7) [/mm] $ / (ln(6)-ln(7))
Wie komme ich blos oben auf die ln(48)?
Vielen lieben Dank.
Grüsse Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 19.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Nicole,
> [mm]6^t[/mm] = [mm]7^{t+2}-7^{t}[/mm]
> [mm]6^t[/mm] = [mm]7^{t+2}\cdot{}(1-7^{-2})[/mm]
> [mm]ln(6^t)-ln(7^{t+2})[/mm] = [mm]ln(1-7^{-2})[/mm]
> ln (6)*t-ln(7)* (t+2) = [mm]ln(1-7^{-2})[/mm]
Soweit ist das alles richtig. In der nächsten Zeile ist aber in Fehler:
ln (6)*t-(ln(7)* (t+2)) = [mm]ln(1-7^{-2})[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln [mm] (6)*t-(ln(7)\*t +ln(7)\*2)) [/mm] = [mm]ln(1-7^{-2})[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln (6)*t-t*ln(7) - 2*ln(7)= [mm]ln(1-7^{-2})[/mm]
Von da aus gehts dann weiter, schöne Grüße
Tobbi
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Hallo Tobbi
Vielen Dank für deine Korrektur. Jedoch frage ich mich trotzdem noch, auch nach deiner Korrektur wie die beim Zähler in der Lösung auf ln(48) kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 19.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
eigentlich steht der da sofort durch Umformen. Also hier detailiert:
[mm] \ln{6}\*t-t\*\ln{7} [/mm] - [mm] 2\*\ln{7}=\ln{1-7^{-2}}
[/mm]
[mm] \gdw ln{6}\*t-t\*\ln{7}=\ln{1-7^{-2}}+2\*\ln{7}
[/mm]
[mm] \gdw t(ln{6}-\ln{7})=ln{\bruch{48}{49}}+2\*\ln{7}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t= [mm] \bruch{ln{\bruch{48\*49}{49}}}{ln{\bruch{6}{7}}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t= [mm] \bruch{ln{48}}{ln{\bruch{6}{7}}}
[/mm]
Hoffe das ist jetzt verständlich,
Tobbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Di 19.06.2007 | | Autor: | Nicole1989 |
Super Tobbi....tausend Dank:)
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